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格的定义

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格的定义

1. 格

在序理论中，格（Lattice）是一种特殊的偏序集合。对于一个偏序集合（L,≤），如果对于任意的a,b∈La,b \in L，集合 {a, b} 在L中都有一个最大下界（也称为"交"，记作inf {a, b} 或 a∧b）和一个最小上界（也称为"并"，记作sup {a, b} 或 a∨b），那么我们就称（L，≤）为一个格⁶。

具体来说，这意味着对于所有的a,b∈L，以下两个公式都成立：

  1. a∧b=inf{a,b}a ∧ b = inf\{a, b\}
  2. a∨b=sup{a,b}a ∨ b = sup\{a, b\}

其他定义

抽象代数的定义

代数格是一种代数结构，它由一个集合和两个二元运算符组成。这两个运算符通常被称为"并"（记作∨）和"交"（记作∧）。对于任意的元素a, b和c，以下的性质必须满足：

  1. 交换律：a∨b=b∨aa ∨ b = b ∨ a 和 a∧b=b∧aa ∧ b = b ∧ a
  2. 结合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) 和 (a∧b)∧c=a∧(b∧c)(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
  3. 吸收律：a∨(a∧b)=aa ∨ (a ∧ b) = a 和 a∧(a∨b)=aa ∧ (a ∨ b) = a

线性代数的定义

在线性代数中，"格"（Lattice）通常指的是由一组线性无关的向量（称为格基）的整系数线性组合所形成的点集。假设我们有一组向量 {v1,v2,...,vn}\{v_1, v_2, ..., v_n\}，那么由这些向量的整系数线性组合所形成的所有点就构成了一个格，可以表示为：

L={a1v1+a2v2+...+anvn∣ai∈Z,1≤i≤n} L = \{a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n | a_i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq n\}

其中，aia_i 是整数，viv_i 是向量，且 1≤i≤n1 \leq i \leq n。这个格在 nn 维空间中形成了一个规则的、无限延伸的点阵。

2. 完备格

在数学上，一个完备格（Complete Lattice）是一个偏序集，其中每个子集都有最小上界（Supremum，也称为最小上确界或者最小上届）和最大下界（Infimum，也称为最大下确界或者最小下邻）。

具体来说，一个偏序集 (L,≤)( L, \leq ) 被称为完备格，如果对于 LL 中的任意子集 SS，都存在 SS 的最小上界 ⋁S\bigvee S 和最大下界 ⋀S\bigwedge S。

这意味着：

  1. 对于 SS 中的任意元素 xx，都有 ⋀S≤x≤⋁S\bigwedge S \leq x \leq \bigvee S。
  2. 对于 SS 中的任意元素 yy，如果对于所有的 x∈Sx \in S 都有 y≤xy \leq x，那么 y≤⋁Sy \leq \bigvee S。这表明 ⋁S\bigvee S 是 SS 中的所有上界中最小的一个。
  3. 对于 SS 中的任意元素 zz，如果对于所有的 x∈Sx \in S 都有 z≥xz \geq x，那么 z≥⋀Sz \geq \bigwedge S。这表明 ⋀S\bigwedge S 是 SS 中的所有下界中最大的一个。

这种结构在许多领域中有着广泛的应用，包括数学、计算机科学、物理学等。完备格的概念为我们提供了一种形式化和比较集合中元素之间关系的方式。

完备格的表示

完备格可以用一个六元组 (L,≤,∧,∨,⊥,⊤)(L, \leq, \wedge, \vee, \bot, \top)来定义和表示，其中：

  1. LL是一个非空集合，表示格中的元素。

  2. ≤\leq是 LL上的偏序关系，表示元素之间的部分次序。

  3. ∧:L×L→L\wedge: L \times L \to L是一个二元运算，表示任意两个元素的下确界（也称为meet操作）。对于任意 a,b∈La, b \in L，a∧ba \wedge b是 aa和 bb的最大下界，即 a∧b≤aa \wedge b \leq a且 a∧b≤ba \wedge b \leq b，并且对于任意 x∈Lx \in L，如果 x≤ax \leq a且 x≤bx \leq b，那么 x≤a∧bx \leq a \wedge b。

  4. ∨:L×L→L\vee: L \times L \to L是一个二元运算，表示任意两个元素的上确界（也称为join操作）。对于任意 a,b∈La, b \in L，a∨ba \vee b是 aa和 bb的最小上界，即 a≤a∨ba \leq a \vee b且 b≤a∨bb \leq a \vee b，并且对于任意 x∈Lx \in L，如果 a≤xa \leq x且 b≤xb \leq x，那么 a∨b≤xa \vee b \leq x。

  5. ⊥\bot是 LL中的最小元素，表示最底下的元素。

  6. ⊤\top是 LL中的最大元素，表示最顶上的元素。

这六个元素和操作满足一系列性质，包括下确界和上确界的存在性和唯一性，以及 ∧\wedge和 ∨\vee操作的结合律和分配律。这些性质保证了格中的元素之间存在特定的次序关系和上下确界关系，构成了一个完备格。

3.映射格

在格论中，映射格（Map Lattice）是一种特殊类型的格结构。映射格是指一个偏序集 (L,≤)( L, \leq)，其中每个元素 a∈La \in L 都对应一个从自身到自身的映射（或者函数），而这些映射满足以下性质：

  1. 自反性（Reflexivity）: 对于每个 a∈La \in L，存在一个映射 ida:a→a\text{id}_a: a \to a，其中 ida(x)=x\text{id}_a(x) = x 对于所有 x∈ax \in a。

  2. 传递性（Transitivity）: 如果 f:a→bf: a \to b 和 g:b→cg: b \to c 是映射格中的映射，那么它们的复合 g∘f:a→cg \circ f: a \to c 也是映射格中的映射。

  3. 上界（Supremum）: 对于映射格中的任意两个映射 f:a→bf: a \to b 和 g:a→bg: a \to b，存在一个最小的上界 f∨g:a→bf \vee g: a \to b，使得对于所有 x∈ax \in a，有 (f∨g)(x)≥f(x)(f \vee g)(x) \geq f(x) 和 (f∨g)(x)≥g(x)(f \vee g)(x) \geq g(x)。

  4. 下界（Infimum）: 对于映射格中的任意两个映射 f:a→bf: a \to b 和 g:a→bg: a \to b，存在一个最大的下界 f∧g:a→bf \wedge g: a \to b，使得对于所有 x∈ax \in a，有 (f∧g)(x)≤f(x)(f \wedge g)(x) \leq f(x) 和 (f∧g)(x)≤g(x)(f \wedge g)(x) \leq g(x)。

⭕ x∈ax \in a 这种描述是否有误，因为a是L中的元素，而不是集合。应该是 x∈Lx \in L

这些性质保证了映射格中的映射之间存在合成（composition）和比较的关系，从而形成了一个格结构。映射格的概念在形式概念分析等领域有着重要的应用。

4. 满射

在数学中，一个函数 f:A→Bf: A \rightarrow B 被称为满射（surjection），如果对于集合 BB 中的每一个元素 yy，存在集合 AA 中的至少一个元素 xx，使得 f(x)=yf(x) = y。换句话说，如果函数 ff 是满射，那么对于集合 BB 中的每一个元素 yy，都存在至少一个元素 xx，使得 f(x)=yf(x) = y。

定义如下：

一个函数 f:A→Bf: A \rightarrow B 是满射，如果

∀y∈B，∃x∈A，f(x)=y \forall y \in B，\exists x \in A，f(x) = y

5. 单射

在数学中，一个函数 f:A→Bf: A \to B 被称为单射（injection）或者一一对应，如果对于集合 AA 中的每一对不同的元素 x1x_1 和 x2x_2，它们在集合 BB 中的像 f(x1)f(x_1) 和 f(x2)f(x_2) 也是不同的，即

f(x1)=f(x2)⇒x1=x2. f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2.

换句话说，如果函数 ff 是单射，那么不同的元素在集合 AA 中有不同的像。没有两个不同的 x1x_1 和 x2x_2 使得它们在函数 ff 下的像相同。

数学上，单射的定义可以用如下符号表示：

一个函数 f:A→Bf: A \rightarrow B 是单射，如果

∀x1,x2∈A，f(x1)=f(x2)⇒x1=x2 \forall x_1, x_2 \in A， f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2

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贡献者: harry