1.2 代数结构

如果我们对算术、初等代数或矩阵理论的主题进行深入研究，会发现其中存在一些共同特点。我们注意到这些学科处理一些给定或派生的对象，通常是数字或符号表达式，并处理这些对象的组合规则。这些对象包括实数集合、集合$X$上的实值函数集合，以及具有通常的加法、减法和乘法规则的复数值$n × n$方阵的集合。此外，我们发现这些组合操作有一些共同的性质，例如将零加到任何实数、将零函数加到一个函数或将零矩阵加到一个矩阵都不会改变实数、函数或矩阵的值。其他性质，比如交换律，并不总是成立。总体而言，方阵的乘法通常不是交换的操作。

代数学领域旨在通过对典型的代数结构进行系统研究，更充分地理解这些学科。这样的研究具有经济性的优势，因为许多表面上不同的结构实质上是相同的，因此可以接受统一的处理。我们通过考虑集合中元素的组合规则来开始我们对代数结构的研究。

1.2.1 集合上的运算

在集合$X$上，二元运算可以被看作是一种规则，用于组合集合中的任意两个元素，以产生集合中的另一个元素。更准确地说，集合$X$上的二元运算只是一个函数$\circ \text{：}X \times X \to X$。$\circ (x,y)$的求值通常用用$x \circ y$表示，称为运算的结果。因此，如果$(x,y) \in X \times X$，则$x \circ y \in X$。

如果$\circ$是$X$上的二元运算且$Y \subset X$，则当且仅当对于$Y$中的每一对$x,y \in Y$，都有$x \circ y \in Y$。因此，如果$\circ$也是定义在$Y \subset X$上的二元运算，我们说$Y$对于运算$\circ$是封闭的。例如，运算$\circ = +$是定义在$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$上的二元运算。然而，运算$x \circ y = x^y$是定义在$\mathbb{R}$上但不是定义在$\mathbb{Q}$上的二元运算。因此，$\mathbb{Q}$对于乘方运算不是封闭的。

Harry

考虑一个例子，其中$x = \sqrt{2}$（一个无理数）而$y = \frac{1}{\sqrt{2}}$（也是一个无理数）。

虽然$x$和$y$都是无理数，但$x^y$是有理数。我们可以验证：

$$x^y = \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$$

在这种情况下，$x^y$将是$\sqrt[4]{2}$，这是一个有理数。

一些二元运算可能满足特殊性质。其中，交换性和结合性是最重要的特殊性质。对于集合$X$上的二元运算$\circ$，如果对于$\forall x, y \in X$都有$x \circ y = y \circ x$，则该运算被称为交换的；如果对于$\forall x, y, z \in X$都有$(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$，则该运算被称为结合的。例如，加法和乘法在实数$\mathbb{R}$上以及正实数$\mathbb{R}^+$上是交换的和结合的。然而，在正实数$\mathbb{R}^+$上，除法不是交换的。

如果对于集合$X$上的二元运算$\circ$存在一个元素$e \in X$，使得对于$\forall x \in X$都有$x \circ e = x = e \circ x$，则称$e$是该运算在$X$上的单位元素。

以加法为例，实数集$\mathbb{R}$相对于加法有单位元素$0$，因为对于$\forall x \in \mathbb{R}$都有$0 + x = x = x + 0$。请注意，加法在正实数集$\mathbb{R}^+$上没有单位元素。然而，相对于正实数集$\mathbb{R}^+$上的乘法，单位元素是$1$，因为对于$\forall x \in \mathbb{R}^+$都有$1 \cdot x = x \cdot 1 = x$。下一个定理表明单位元素是唯一的。

定理 1.6: 如果集合$X$在二元运算$\circ$下存在单位元素，则该单位元素是唯一的。

该定理的证明可以在大多数关于现代代数学引论的书籍中找到（例如，[124, 293]）。

如果集合$X$在二元运算$\circ$下具有单位元素$e$，那么对于$x \in X$，如果存在元素$y \in X$，使得$x \circ y = y \circ x = e$，则称元素$y$是$x$的逆元。注意，所有实数值的$n×n$矩阵在矩阵乘法下具有乘法单位元素，即$n×n$单位矩阵。然而，并非每个$n×n$矩阵都具有乘法逆元。

下一个定理的证明与定理1.6的证明类似，也可以在[124, 293]中找到。

定理 1.7: 设$\circ$是集合$X$上的一个二元运算。$x \in X$对于运算$\circ$的逆元素如果存在的话，是唯一的。

尽管并非每个集合$X$上的二元运算都提供逆元素，但有许多运算能提供一些几乎像逆元一样的元素。显然，如果$y$是相对于运算$\circ$在$X$中的元素$x$的逆元素，那么$x \circ y \circ x = x$且$y \circ x \circ y = y$。任何满足如下两个条件的元素$y$称为$x \in X$的伪逆。

$$x \circ y \circ x = x \text{ 和 } y \circ x \circ y = y \tag{1.3}$$

因此，每个逆元素都是伪逆，但反之不一定成立。

假设$X$是一个带有两个二元运算$\diamond$和$\circ$的集合。如果对于运算$\diamond$，运算$\circ$是左分配的，那么有：

$$x \circ (y \diamond z) = (x \circ y) \diamond (x \circ z), \quad \forall x, y, z \in X \tag{1.4}$$

如果对于运算$\diamond$，运算$\circ$是右分配的，那么有：

$$(y \diamond z) \circ x = (y \circ x) \diamond (z \circ x), \quad \forall x, y, z \in X \tag{1.5}$$

当方程1.4和1.5都成立时，我们简称$\circ$相对于$\diamond$是分配的。请注意，在$\circ$是可交换的情况下，方程1.4和1.5的右侧是相等的。显然，在实数集合上，乘法相对于加法是分配的。然而，在正实数集合上，除法并不是对加法左分配的；即$(y+z)/x = (y/x) + (z/x)$，但$x/(y+z) \neq (x/y) + (x/z)$。

本章的其余部分将简要概述代数结构，列举一些在构建基于格的神经网络中使用的格结构研究中相关的特殊抽象代数系统的特征。

习题1.2.1

1. 证明定理1.6，不使用列举的参考文献。

Harry

使用反证法。

假设集合$X$在二元运算$\circ$下存在两个不同的单元元素$e_1,e_2 \in X, \text{ 且 } e_1 \neq e_2$，则：

$$\begin{aligned} (\forall x) \ x \in X , e_1 \circ x = x & \Rightarrow e_1 \circ e_2 = e_2\\ (\forall x) \ x \in X, x \circ e_2 = x & \Rightarrow e_1 \circ e_2 = e_1 \\ & \Rightarrow e_2 = e_1 \circ e_2 = e_1\\ \end{aligned}$$

这与$e_1 \neq e_2$矛盾，故定理1.6得证。$\qquad \Box$

2. 证明定理1.7，不使用列举的参考文献。

Harry

使用反证法。

假设$x_1'$,$x_2'$是$x$的逆元，且$x_1' \neq x_2'$。则由逆元和单元元定义有

$$x_1' \circ x = e \Rightarrow x_1' \circ x \circ x_2' = e \circ x_2' = x_2' \tag{1}$$

同理

$$x \circ x_2' = e \Rightarrow x_1' \circ x \circ x_2' = x_1' \circ e = x_1' \tag{2}$$

由（1）和（2）， 得

$$x_1' = x_1' \circ x \circ x_2' = x_2'$$

这与假设$x_1' \neq x_2'$矛盾，故定理1.7得证。$\qquad \Box$

3. 对于有理数集合$\mathbb{Q}$上的每个二元运算$\circ$，决定该运算是否是可交换的、可结合的，或二者兼具。假设（a）$x \circ y = \frac{x \cdot y}{2}$，（b）$x \circ y = x \cdot y + 1$，（c）$x \circ y = x - y$。

Harry

(a) 可交换、可结合

(b) 可交换、不可结合

$$\begin{aligned} x \circ (y \circ z) & = x \circ (y \cdot z +1 ) \\ & = x \cdot(y \cdot z +1 ) + 1 \\ & = x \cdot y \cdot z + x \cdot 1 + 1 \\ & = x \cdot y \cdot z + x + 1 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (x \circ y) \circ z & = (x \cdot y + 1) \circ z \\ & = (x \cdot y + 1) \cdot z +1 \\ & = x \cdot y \cdot z + 1 \cdot z + 1 \\ & = x \cdot y \cdot z + z + 1 \end{aligned}$$

即$x \circ (y \circ z) \neq (x \circ y) \circ z$，故不可结合。

(c) 不可交换，不可结合

$$x \circ y = x - y \neq y - x = y \circ x$$

即不可交换。

$$\begin{aligned} x \circ (y \circ z) & = x \circ (y -z ) \\ & = x - (y-z)\\ & = x - y + z\\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (x \circ y) \circ z & = (x-y) \circ z \\ & = (x-y) -z\\ & = x - y - z\\ \end{aligned}$$

即$x \circ (y \circ z) \neq (x \circ y) \circ z$，故不可结合。

1.2.2 半群与群

我们从最简单的代数结构开始讨论，即广群（groupiod）。

定义 1.8 广群是指一个集合$X$，以及$X$上的一个二元操作$\circ$。如果操作$\circ$也是可结合的，那么这个广群被称为半群。

为了在表示半群时更加精确，我们应该使用一些符号，比如$(X,\circ, =)$，它指定了元素集合、二元关系和用于指定元素相等的等式关系；即$x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z$。然而，通常习惯上使用$(X,\circ)$或者仅仅是表示元素集的字母，比如$X$，来表示广群或半群，只要不会对使用的二元组合符号产生混淆。此外，代数学家通常不使用诸如$\circ$这样的特殊符号表示与通常的加法或乘法不同的二元操作。他们坚持使用传统的加法或乘法符号，甚至称这些操作为加法和乘法。我们在某种程度上遵循这个惯例，使用$x+y$表示$x \circ y$作为加法操作，使用$x \cdot y$或$x \times y$，甚至是$xy$，表示$x \circ y$作为乘法操作。有一种“绅士协定”，使用零符号 0 表示加法恒等元，使用符号 1 表示乘法恒等元，尽管它们实际上可能并不表示整数 0 和 1。当然，如果一个人同时谈论数字，为了避免混淆，会使用其他符号来表示这些恒等元。

对于未受过训练的人来说，半群可能看起来性质太过贫乏，以至于没有太大的兴趣。然而，在矩阵乘法下，$n \times n$方阵的集合形成一个半群。任何有矩阵理论经验的人都很清楚，这个系统远非贫乏到无趣的地步，事实上，它在性质上非常丰富。对矩阵理论引人入胜的分支的深入研究激发了许多数学发展，并且仍然是数学的一个积极发展和壮大的分支。

在矩阵乘法下的$n \times n$方阵的集合还具有一个额外的性质，即存在一个乘法单位元。这引出了下一个定义：

定义1.9 半群与单位元组成的代数结构称为幺半群。

例1.5 正整数集合$\mathbb{N}$，以加法为运算的系统，不是一个幺半群。然而，$(\mathbb{N}, +)$是一个半群。而$(\mathbb{N}, \cdot)$是一个带有单位元1的幺半群(monoid)。

在所有可能的具有单一结合运算的代数系统中，群系统是迄今为止研究最广泛的一种。而且，群论是抽象代数中最古老、最丰富应用的部分之一。

定义1.10 群(group)是具有每个元素都有逆元的性质的幺半群。

Harry

几个概念的关系：

$$\text{群} \subset \text{幺半群} \subset \text{半群} \subset \text{广群}$$

在群中，运算是可交换的，所以单位元和逆元都是唯一的，而且左右单位元和左右逆元都相同。但是，在半群中，运算可能不是可交换的，所以单位元和逆元可能不是唯一的，而且左右单位元和左右逆元可能不同。

在群中，单位元和逆元是可交换的，并不意味着所有元素都是可交换的。

在使用乘法符号时，惯例上用$x^{-1}$表示群$G$中元素$x$的逆，而在使用加法符号时用$-x$表示。回顾幺半群的定义，可以用另一种方式定义群，即作为一个集合$G$和一个二元运算，记作$(G, \circ)$，使得：

$G_1. \quad$运算$\circ$是结合的，即$\forall x, y, z \in G$，有$x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z$。

$G_2. \quad$存在一个单位元$1 \in G$，使得$\forall x \in G$，有$x \circ 1 = 1 \circ x = x$。

$G_3. \quad$$\forall x \in G$，$\exist x^{-1} \in G$，使得$x \circ x^{-1} = x^{-1} \circ x = 1$，$x^{-1}$即逆元。

如果$(G, \circ)$是一个群而$H \subset G$，当且仅当$(H, \circ)$也是一个群时，$H$被称为$G$的一个子群。此外，如果除了上述三个性质外，运算还是可交换的，则群$G$被称为可交换群（或阿贝尔群）。

例 1.6 带加法运算的集合$\mathbb{N}_0$不是一个群。它有一个单位元素 0，但没有大于 0 的整数在$\mathbb{N}_0$中有逆元素。然而，带加法运算的$\mathbb{Z}$是一个群，而且是可交换的群。

科学家和工程师经常从事解决问题的活动。这些问题通常导致涉及某个未知数或数量$x$的方程，需要确定其值。最简单的方程是线性方程，形式为$a + x = b$（对于加法运算）和$a \cdot x = b$（对于乘法运算）。形如$a \cdot x = b$的方程在幺半群$(\mathbb{N}, \cdot)$中通常无解。例如，方程$2 \cdot x = 3$的解为$x = \frac{3}{2}$，这不是整数。然而，形如$a \cdot x = b$的方程在结构$(\mathbb{R}^+, \cdot)$中总是有解的。这是因为$(\mathbb{R}^+, \cdot)$是一个群。正如下一个定理所示，解线性方程所需的性质正是群的性质。

定理 1.8 如果$(G, \circ)$是一个群，$a, b \in G$，那么线性方程$a \circ x = b$和$y \circ a = b$在$G$中有唯一解。

这个定理的证明可以在大多数关于抽象代数的教材中找到，例如 [293, 124]。重要的是要注意，解$x = a^{-1} \circ b$和$y = b \circ a^{-1}$不必相同，除非群是可交换的。然而，方程$a \circ x \circ b = c$在任何群$(G, \circ)$中都有唯一解，即$x = a^{-1} \circ c \circ b^{-1}$。方程$a \circ x \circ b = c$被称为$x$的一个群平移(group translation)。这个术语源于以下定义：

定义 1.11 如果$(G, \circ)$是一个群，那么函数$\psi: G \to G$被称为一个群平移(group translation)，如果$\psi(x) = a \circ x \circ b$，对所有$x \in G$成立，其中$a, b \in G$是常数。如果$(G, \circ)$只是一个半群，那么$\psi$被称为半群平移。

习题 1.2.2:

1. 举出除了文本中提到的之外的半群和幺半群的例子，这些半群和幺半群不是群。

Harry

半群不是群的主要区别在于是否存在单位元以及每个元素都有逆元。以下是三个例子说明半群不是群：

• 正整数集合$(\mathbb{N}, +)$：正整数集合$\mathbb{N}$关于加法$+$是一个半群，因为加法是结合的。然而，它不是一个群，因为它没有单位元，并且对于正整数$n$，不存在正整数$m$使得$n \times m = 1$。
• 字符串集合$(\Sigma^*, \cdot)$： 字符串集合$\Sigma^*$表示所有可能的字符串的集合，关于字符串连接运算$\cdot$构成一个半群，因为字符串连接是结合的。然而，它不是一个幺半群，因为缺少单位元素。而且也不存在逆元。

幺半群不要求每个元素都有逆元素。以下是三个例子说明幺半群不是群：

• 自然数集合$(\mathbb{N}, +, 0)$：自然数集合$\mathbb{N}$关于加法$+$和零$0$构成一个幺半群。加法是结合的，单位元素是零。然而，它不是一个群，因为对于自然数$n > 0$，不存在自然数$m$使得$n + m = 0$。
• 正整数集合$(\mathbb{Z}^+, \times, 1)$： 正整数集合$\mathbb{Z}^+$关于乘法$\times$和单位元素$1$构成一个幺半群。乘法是结合的，单位元素是$1$。然而，它不是一个群，因为对于正整数$n > 1$，不存在正整数$m$使得$n \times m = 1$。
• 非负实数集合$(\mathbb{R}_{\geq 0}, \cdot, 1)$：非负实数集合$\mathbb{R}_{\geq 0}$关于乘法$\cdot$和单位元素$1$构成一个幺半群。乘法是结合的，单位元素是$1$。然而，它不是一个群，因为对于非零实数$x$，不存在非零实数$y$使得$x \cdot y = 1$。

2. 证明以下命题：如果$G$是一个半群，那么$G$是一个群，当且仅当满足以下两个条件：（1）$\exist i \in G$使得$i \circ x = x, \forall x \in G$和（2）$\forall x \in G, \exist x^{-1} \in G$使得$x^{-1} \circ x = i$。

首先证明必要性。

$$\because G\text{是群}$$

$$\therefore G \text{存在单位元} e, \text{使得} e \circ x = x$$

令$i=e$，所以(1)成立。

另，因为$G$是群，所以存在逆元，即

$$\forall x \in G, x^{-1} \circ x = e$$

因为$i=e$，所以(2)成立。

再证明充分性。

⭕ 暂时无法证明

无法证明$x \circ i= x$或者$x \circ x^{-1} = i$

3. 证明定理 1.8。

以$a \circ x = b$为例。

显然，方程存在解$x= a^{-1} \circ b$。现证明解为唯一的。

假设方程有两个解$x_1, x_2 \text{ 且 } x_1 \neq x_2$。则有

$$\begin{aligned} a \circ x_1 = b, a \circ x_2 = b & \Rightarrow a \circ x_1 = a \circ x_2 \\ & \Rightarrow a^{-1} \circ a \circ x_1 = a^{-1} \circ a \circ x_2 \\ & \Rightarrow e \circ x_1 = e \circ x_2 \ \\ & \Rightarrow x_1 = x_2 \end{aligned}$$

这与假设$x_1 \neq x_2$矛盾，所以假设不成立。故方程的解唯一。

综上，得证$\qquad \Box$

4. 假设$G$是一个群，$\varnothing \neq H \subset G$。证明$H$是$G$的一个子群，当且仅当$\forall x,y \in H, x^{-1} \circ y \in H$。

先证必要性

$$\begin{aligned} H \text{ 是非空子群 } & \Rightarrow x^{-1},y \in H \\ & \Rightarrow x^{-1} \circ y \in H \tag{封闭性} \end{aligned}$$

再证充分性

要证明$H$是群$G$的子群，必须满足以下四个条件：

• 封闭性：对于任意$x, y \in H$，必须有$x \circ y \in H$。
• 单位元：群$G$的单位元$e$必须属于$H$。
• 逆元：对于任意$x \in H$，其逆元$x^{-1}$必须属于$H$。
• 结合律：群$G$的群运算是结合的，即对于任意$x, y, z \in G$，都有$(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$。

现证明如$\forall x,y \in H, x^{-1} \circ y \in H \Rightarrow H \text{是群}$：

• 单位元：令$y=x$，有$x^{-1} \circ x = e \in H$, 满足单位元要求。
• 逆元：令$y=e$,有$x^{-1} \circ e = x^{-1} \in H$，满足逆元要求。
• 结合律：由于$G$是群，其结合律在$H$中同样成立。
• 封闭性：因为$x \circ x^{-1} \in H$，即$x$,$x^{-1}$互为逆元，亦即$(x^{-1})^{-1}=x$。因为$x^{-1} \circ y \in H$，令$x = x^{-1}$，则$(x^{-1})^{-1} \circ y \in H \Rightarrow x \circ y \in H$

因此，$H$满足群的定义，即$H$是$G$的子群。

综上，命题得证。$\qquad \Box$

5. 证明$(\mathbb{R}^n, +)$是一个阿贝尔群（可交换群）。

• 单位元：$(0_1,0_2,...,0_n) \in \mathbb{R}^n$
• 逆元：$(-x_1,-x_2,...,-x_n) \in \mathbb{R}^n$
• 结合性：因为$\mathbb{R}$在+上满足结合律，显然$\mathbb{R}^n$在 加法+ 上满足结合律
• 封闭性：因为$\mathbb{R}$在+上满足封闭律，显然$\mathbb{R}^n$在 加法+ 上满足封闭律

现在证明交换性。

$\forall x =(x_1,x_2,...,x_n),y=(y_1,y_2,...,y_n) \in \mathbb{R}^n, x_i,y_i \in \mathbb{R}$

$$\begin{aligned} x + y & = (x_1 + y_1, x_2 + y_2,...,x_n+y_n) \\ & = (y_1 + x_1, y_2 + x_2,...,y_n+x_n) \\ & = (y + x) \end{aligned}$$

即可交换性成立。 综上，$(\mathbb{R}^n, +)$是可交换群，命题得证。$\qquad \Box$

1.2.3 环与域

到目前为止，我们考虑的结构都涉及具有单一二元运算的集合。然而，我们对算术的最早经验教给我们在数字集合上使用两个不同的二元运算，即加法和乘法。这一早期而重要的经验应该表明，在已定义两个二元运算的集合上进行研究具有极大的重要性。根据这些数字系统共有的性质以及诸如所有元素都属于某一数字系统的$n×n$矩阵集合，或者所有系数都属于例如所有整数的多项式集合等结构，我们现在定义了一种代数结构，称为环(ring)。

定义 1.12 环(ring)$(R,\diamond, \circ)$是一个集合$R$，连同两个二元运算$\diamond$和$\circ$，分别定义为加法和乘法，在$R$上满足以下三个条件：

$R_1$.$\quad (R,\diamond)$是一个可交换群。

$R_2$.$\quad (R,\circ)$是一个半群。

$R_3$.$\quad \forall a、b、c \in R， a \circ (b \diamond c) = (a \circ b) \diamond (a \circ c) 和 (a \diamond b) \circ c = (a \circ c) \diamond (b \circ c)$。

Harry

*$\circ$是半群，因此$a \circ (b \diamond c) \neq (b \diamond c) \circ a$， *$\circ$并不要求是半幺群，因此也不必然有单位元。 *$R_3$指明了$\circ$对$\diamond$可分配，但是反之不然。

为了便于记忆，可以将$\circ$记作乘法，$\diamond$记作加法。

如果这个定义的条件$R_1$被弱化为$(R, \diamond)$是一个可交换半群，那么$R$被称为半环(semiring)。

Harry

列举是半环而不是环的例子： *$(\mathbb{N},+, \times)$，因为除了 0 之外，没有其他自然数有加法逆元。 *$2×2$的非负整数矩阵集，因为除了零矩阵之外，没有其他矩阵有加法逆元。

从对基础数学系统的经验中很容易想到的许多环的例子中，最自然的可能是整数环$\mathbb{Z}$，其具有通常的加法和乘法。然而，如果我们检查整数环$(\mathbb{Z}, +, \times)$的性质，其中$+$和$\times$对应于$\diamond$和$\circ$，我们注意到它具有一般环所不具备的性质。其中一些性质包括：

$R_4$.$\quad$存在操作$\circ$的单位元素，称为单位元素，通常用1或$I$表示。

Harry :

即$(R,\circ)$是半幺群

$R_5$.$\quad$操作$\circ$的可交换性。

$R_6$.$\quad$不存在元素$a \neq 0$，使得对于某个正整数$n$有$na: = \begin{matrix} \underbrace{a \diamond a ··· \diamond a } \\ n \end{matrix} = 0$。

Harry

即$(R,\diamond)$不存在零元。

$\quad \ \quad$另一方面，整数本身缺乏一个非常有用的性质，即：

$R_7$.$\quad$对于每个非零元素$a \in R$，$R$中都存在一个表示为$a^{−1}$的元素，使得$a \circ a^{−1} = a^{−1} \circ a = 1$；即，$(R \backslash \{0\}, \circ)$是一个群。

Harry

即，整数的乘法没有逆元。

举例说明：$\exist a \in \mathbb{Z},a^{-1} \notin \mathbb{Z}, a \circ a^{-1} = 1$，例如$2 \circ \frac{1}{2}=1$，但是$\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$

$\quad \ \quad$事实上，$(\mathbb{Z}, +, \times)$也不具有稍微弱一点的性质：

$R_8$.$\quad$对于每个非零元素$a \in R$，$R$中都存在一个表示为$\tilde{a}$的元素，使得$a \circ \tilde{a} \circ a = a$，并且$\tilde{a} \circ a \circ \tilde{a} = \tilde{a}$；即，每个非零元素都有一个伪逆元素。

Harry

即，$(R, \circ)$每个非零元素都具有一个伪逆元。对于整数的幺半群$(\mathbb{Z}, \times)$，因为乘法满足交换律，因此有

$$\begin{aligned} & \quad a \times \tilde{a} \times a = a \\ \Rightarrow & \quad a \times a \times \tilde{a} = a \\ \Rightarrow & \quad a ^ 2 \times \tilde{a} = a \\ \Rightarrow & \quad a \times \tilde{a} = 1 \\ \Rightarrow & \quad \tilde{a} = \frac{1}{a} \notin \mathbb{Z} \\ \end{aligned}$$

伪逆元由1.2.1中（1.3）定义。

这些性质引导我们进行一些进一步的定义。

定义 1.13 如果一个环满足性质$R_4$，则称其为带幺环。如果一个环满足性质$R_5$，则称其为可交换环或交换环。如果一个环满足性质$R_6$，则称其具有零特征。如果满足$R_7$，则称其为除环或拟域。域是一个可交换的除环。如果一个环满足性质$R_8$，则称其为冯·诺依曼环。如果一个环$R$满足$\forall a \in R,a^2 = a$，则称其为布尔环。

Harry

*$R_4$描述的是半群操作$\circ$，由半群定义的半幺群，由此可以记忆带幺环 *$R_5$描述的也是半群操作$\circ$，但之前没有1.2.2中没有定义交换半群。 *$R_6$描述的是加法操作$\diamond$，而且是个否定描述，那么零特征具体指什么？ *$R_7$描述半群操作$\circ$也符合群的要求，也就是说$\circ$和$\diamond$都是群。

正如我们注意到的，$(\mathbb{Z},+,\times)$是一个可交换环，但不是一个除环。另一方面，$(R,+,\times)$是可交换除环的一个示例，因此也是一个域。它也是一个带幺环并且具有零特征的环，同时也是一个完全有序域。这意味着集合R不仅按照≤的自然顺序完全有序，而且加法和乘法的运算符+和×与顺序相容，即：

1.$\forall x,y,z \in R$，如果$x \leq y$，则$x+z \leq y+z$（在$+$下保持顺序）。

2.$\forall x,y \in R$，如果$0 \leq x$且$0 \leq y$，则$0 \leq x \times y$（在$\times$下保持顺序）。

其他众所周知的域的例子包括$(\mathbb{Q},+,\times)$和$(\mathbb{C},+,\times)$。并非所有的环都必然是不同数集的环。

Harry

域(field)的严格定义如下：

一个域是一个非空集合$F$，其中定义了两个二元运算$+$和$×$，通常称为加法和乘法，满足以下性质：

1. 封闭性（Closure）： 对于任意$a, b \in F$，有$a + b \in F$和$a \times b \in F$。
2. 交换性（Commutativity）： 加法和乘法都是交换的，即对于任意$a, b \in F$，有$a + b = b + a$和$a \times b = b \times a$。
3. 结合性（Associativity）： 加法和乘法都是结合的，即对于任意$a, b, c \in F$，有$(a + b) + c = a + (b + c)$和$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$。
4. 存在加法单位元（Existence of Additive Identity）： 存在一个元素 0，对于任意$a \in F$，有$a + 0 = a$。
5. 存在乘法单位元（Existence of Multiplicative Identity）： 存在一个非零元素 1，对于任意$a \in F$（其中$a \neq 0$），有$a \times 1 = a$。
6. 存在加法逆元素（Existence of Additive Inverses）： 对于任意$a \in F$，存在一个元素$-a$，使得$a + (-a) = 0$。
7. 存在乘法逆元素（Existence of Multiplicative Inverses）： 对于任意$a \in F$（其中$a \neq 0$），存在一个元素$a^{-1}$，使得$a \times a^{-1} = 1$。
8. 分配律（Distributive Law）： 对于任意$a, b, c \in F$，乘法对加法满足分配律，即$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$和$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$。

换言之，域上的两个运算都满足封闭性、可交互、可结合，存在单位元、存在逆元、分配律

例子1.7 考虑实值函数集合$\mathbb{R}^X$，其中$X$是一个集合。两个函数$f,g \in \mathbb{R}^X$的加法和乘法定义如下： 1.$(f+g) : X \rightarrow \mathbb{R}$，其中$\forall x \in X, \ (f+g)(x) = f(x) + g(x)$， 2.$(f \times g) : X \rightarrow \mathbb{R}$，其中$\forall x \in X, \ (f \times g)(x) = f(x) \times g(x)$。

零函数$\phi \in \mathbb{R}^X$被定义为$\forall x \in X, \ \phi(x) = 0$。单位函数$I \in \mathbb{R}^X$，被定义为$\forall x \in X, \ I(x) = 1$。对于每个$f \in \mathbb{R}^X$，定义其逆$-f \in \mathbb{R}^X$为$(-f)(x) = -f(x)$。那么

$$\forall x \in X, \ (f + (-f))(x) = f(x) + (-f)(x) = f(x) - f(x) = 0 = \phi(x)$$

因此，$(f + (-f)) = \phi$。另外，

$$\forall x \in X, \ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)$$

Harry

*$f(x) + g(x) = g(x) + f(x)$的依据实数集合上加法的交换律。

因此，$\mathbb{R}^X$上的加法是交换的。同样容易证明$f \times g = g \times f$以及

$$(f + g) + h = f + (g + h), \quad (f \times g) \times h = f \times (g \times h),$$

$$f \times (g + h) = (f \times g) + (f \times h), \quad (f + g) \times h = (f \times h) + (g \times h).$$

由此，$(\mathbb{R}^X,+)$是一个阿贝尔群，$(\mathbb{R}^X, \times)$是带有单位元的可交换半群，且满足公理$R_3$。因此，$(\mathbb{R}^X, +, \times)$是一个带有单位元的阿贝尔环。然而，$(\mathbb{R}^X, +, \times)$不是一个域，因为并非对于每个$f \in \mathbb{R}^X$且$f \neq \phi$都存在乘法逆元。我们无法定义$f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)}$，因为可能存在某些$x \in X$使得$f(x) = 0$，但并非对于所有$x \in X$都成立。尽管如此，如果$f \neq \phi$，则函数$\tilde{f}$定义为:

$$\tilde{f}(x)=\begin{cases} \frac{1}{f(x)} \text{， 当 }f(x) \neq 0 \\ f(x) \text{，当 }f(x) = 0 \end{cases}$$

$\tilde{f}$是一个伪逆，因为$f \times \tilde{f} \times f = f$且$\tilde{f} \times f \times \tilde{f} = \tilde{f}$。因此，$(\mathbb{R}^X, +, \times)$是一个冯·诺伊曼环。

迄今为止考虑的所有环都是可交换的环。然而，在广泛的应用中，非可交换环也起着重要作用。我们展示其中最相关的非可交换环的例子。

例子1.8 设$\mathbb{F}$是任意域，例如$\mathbb{Q}$，$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$，并考虑形式为

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$$

的所有$2×2$矩阵的集合$M_{2 \times 2}(\mathbb{F})$，其中$a_{ij}$都属于$\mathbb{F}$。所有$n × n$矩阵的集合$M_{n×n}(\mathbb{F})$同样被定义。

在$M_{2 \times 2}(\mathbb{F})$上，矩阵加法通过对应元素在$\mathbb{F}$中的加法定义：

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{pmatrix}$$

显然，$(M_{2 \times 2}(\mathbb{F}), +)$是一个阿贝尔群，具有零元素

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

以及加法逆元素

$$-\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & -a_{22} \end{pmatrix}$$

在$M_{2 \times 2}(\mathbb{F})$上，矩阵乘法通过以下方式定义：

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

如果$\mathbb{F}$等于$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$，那么这个乘法当然对应于这些域上的常见矩阵乘积，并且最好通过 $(a_{ij})(b_{ij}) = (c_{ij})$,其中$c_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik}b_{kj}$来记忆。当然，对于矩阵乘法，和的范围可以从$k=1$到$n$，这一类似的定义同样成立。简而言之，我们关于系统$(M_{2 \times 2}(\mathbb{F}), +, \times)$的所有论述同样适用于系统$(M_{n \times n}(\mathbb{F}), +, \times)$。

为了证明$(M_{n \times n}(\mathbb{F}), +, \times)$是一个环，还需要证明结合律和分配律。利用$\mathbb{F}$的域属性和在结构$(M_{n \times n}(\mathbb{F}), +, \times)$中矩阵乘法的定义，如果$d_{rs}$表示$r$行和$s$列的$(a_{ij})[(b_{ij})(c_{ij})]$中的元素，我们有

$$d_{rs} = \sum_{k=1}^n a_{rk} (\sum_{j=1}^n b_{kj}c_{js}) = \sum_{j=1}^n ( \sum_{k=1}^n a_{rk}b_{kj})c_{js} = e_{rs},$$

其中$e_{rs}$表示$[(a_{ij})(b_{ij})](c_{ij})$中的元素，即第$r$行和第$s$列。分配性质以类似的方式证明。

这个例子证明了以下定理：

定理1.9 如果$\mathbb{F}$是一个域，那么所有元素来自$\mathbb{F}$的$n×n$矩阵的集合$M_{n \times n}(\mathbb{F})$在矩阵加法和矩阵乘法下构成一个环。

矩阵环是域$\mathbb{F}$中科学和工程理论与实践中的重要工具。然而，需要指出的是，矩阵环$(M_{n \times n}(\mathbb{F}), +, \times)$缺乏一些重要的代数性质。由于矩阵乘法不满足交换律，因此$M_{n \times n}(\mathbb{F})$不是一个可交换环。此外，实数系统最重要的性质之一是两个数的乘积只有在至少一个因子为零时才能为零。工程师或科学家在不自觉中经常使用这个事实。例如，假设需要解方程$2x^2 + 9x - 5 = 0$。通常的第一步是对左侧进行因式分解：$2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x + 5)$。然后可以得出结论，$x$的唯一可能值是$1/2$和$-5$，因为结果的乘积仅当因子$2x - 1$或$x + 5$之一为零时为零。然而，对于一般的环而言，如果乘积等于零，则至少一个因子也必须等于零的性质并不成立。例如，$M_{2 \times 2}(\mathbb{F})$中的矩阵乘法定义表明

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

习题1.2.3

1. 证明集合$X = \{2x : x \in \mathbb{Z}\}$是否构成一个环。

Harry

因为$(\mathbb{Z},+,\times)$是环，所以$(X, +)$满足结合律、可交换，$(X,\times)$满足结合律。因此，只需证明$X$满足封闭性，$(X,+)$具有单位元和逆元。

$\forall x,y \in X$，可记作$x=2a,y=2b,a,b \in \mathbb{Z}$，则

先证封闭性：

$$\begin{aligned} x + y & = 2a + 2b \\ & = 2(a+b) \\ x \times y & = 2a \times 2b \\ & = 2 (a \times b) \end{aligned}$$

显然，$a+b, a\times b \in \mathbb{Z}$，因此$x+y, x\times y \in X$ 故$(X, +)$和$(X, \times)$满足封闭性。

再证$(X,+)$具有单位元：

$$\begin{aligned} \because \ & 0 = 2 \times 0\in \mathbb{Z} \\ \therefore \ & 0 \in X \\ \because \ & x + 0 = 0 + x = x \\ \therefore \ & 0 \text{是} (x,+) \text{单位元} \end{aligned}$$

最后证$(X,+)$具有逆元 :

$x = 2a \in X \Rightarrow -x = 2(-a) = -2a \in X$，则$x + (-x) = 2a + (-2a) = 2 (a + (-a)) = 2 (0) = 0$,$(-x) + x= (-2a) + 2a = 2(-a+a)=2(0)=0$

即$\forall x \in X, \exist -x \in X, x+(-x)=(-x)+x=0$，$-x$为$x$逆元。

得证。$\qquad \Box$

2. 证明集合$X = \{2x+1 : x \in \mathbb{Z}\}$是否构成一个环。

Harry

$X = \{2x+1 : x \in \mathbb{Z}\}$不是环，因为不满足封闭性。证明如下：

令$x = 2a +1, y = 2b+1，a,b \in \mathbb{Z}$

$x + y = (2a+1)+(2b+1)=2a+1+2b+1=2a+2b+1+1=2a+2b+2=2(a+b+1) \notin X$

得证。$\qquad \Box$

3. 证明$(\mathbb{Q}, +, \times)$是一个环。它是否是一个除环（division ring）？

Harry 是一个除环。证明如下：

$\forall x \in \mathbb{Q}, x \times 1 = 1 \times x = x$，即$(\mathbb{Q},\times)$的元素具单位元1。

$\forall x \in \mathbb{Q},x \neq 0$有$\frac{1}{x} \in \mathbb{Q}$，则

$x \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \times x = 1$

因此$\forall x \in \mathbb{Q}, x \neq 0$在$\times$上具有逆元$\frac{1}{x}$

得证。$\qquad \Box$

4. 假设$X = \{(w, x, y, z) : w, x, y, z \in \mathbb{Q}\}$，并赋予二元运算加法和乘法，其定义为:

$\forall (w, x, y, z), (s, t, u, v) \in X$

$$(w, x, y, z) + (s, t, u, v) = (w + s, x + t, y + u, z + v)$$

和

$$(w, x, y, z) \cdot (s, t, u, v) = (w \cdot s + x \cdot u, w \cdot t + x \cdot v, y \cdot s + z \cdot u, y \cdot t + z \cdot v)$$

证明$X$是一个环。

Harry

先证$((w,x,y,z),+)$是一个交换群。

因为$(\mathbb{Q},+)$是交换群，显然$((w,x,y,z),+)$满足结合律、交换律。只需证明存在单位元和逆元。

$$\begin{aligned} (w,x,y,z)+(0,0,0,0) & = (w+0,x+0，y+0,z+0) \\ & =(w,x,y,z) \\ (0,0,0,0)+(w,x,y,z) & = (0+w,0+x,0+y,0+z) \\ & =(w,x,y,z) \end{aligned}$$

即$((w,x,y,z),+)$存在单位元$(0,0,0,0)$

又，

$$\begin{aligned} (w,x,y,z)+(-w,-x,-y,-z) & = (w+(-w),x+(-x)，y+(-y),z+(-z)) \\ & =(0,0,0,0) \\ (-w,-x,-y,-z)+(w,x,y,z) & = ((-w)+w,(-x)+x,(-y)+y,(-z)+z) \\ & =(0,0,0,0) \end{aligned}$$

即$((w,x,y,z),+)$存在单位元$(-w,-x,-y,-z)$

故，$((w,x,y,z),+)$是交换群

再证$((w,x,y,z),\cdot)$是一个半群。

$$\begin{aligned} ((w, x, y, z) \cdot (s, t, u, v)) \cdot (a,b,c,d)& = (w \cdot s + x \cdot u, w \cdot t + x \cdot v, y \cdot s + z \cdot u, y \cdot t + z \cdot v) \\ & \quad \cdot (a,b,c,d) \\ & = ((w \cdot s + x \cdot u) \cdot a + (w \cdot t + x \cdot v ) \cdot c, \\ & \quad (w \cdot s + x \cdot u) \cdot b + (w \cdot t + x \cdot v ) \cdot d, \\ & \quad (y \cdot s + z \cdot u) \cdot a + (y \cdot t + z \cdot v) \cdot c, \\ & \quad (y \cdot s + z \cdot u) \cdot b + (y \cdot t + z \cdot v) \cdot d) \\ & = (w \cdot s \cdot a + x \cdot u \cdot a + w \cdot t \cdot c + x \cdot v \cdot c, \\ & \quad w \cdot s \cdot b + x \cdot u \cdot b + w \cdot t \cdot d + x \cdot v \cdot d, \\ & \quad y\cdot s \cdot a + z \cdot u \cdot a + y \cdot t \cdot c + z \cdot v \cdot c, \\ & \quad y\cdot s \cdot b + z \cdot u \cdot b + y \cdot t \cdot d + z \cdot v \cdot d) \\ & = ( w \cdot (s \cdot a + t \cdot c) + x \cdot (u \cdot a + v \cdot c), \\ & \quad w \cdot (s \cdot b + t \cdot d) + x \cdot (u \cdot b + v \cdot d), \\ & \quad y \cdot (s \cdot a + t \cdot c) + z \cdot (u \cdot a + v \cdot c), \\ & \quad y \cdot (s \cdot b + t \cdot d) + z \cdot (u \cdot b + v \cdot d)) \\ & = (w,x,y,z) \cdot \\ & \quad (s \cdot a + t \cdot c, \\ & \quad s \cdot b + t \cdot d, \\ & \quad u \cdot a + v \cdot c, \\ & \quad u \cdot b + v \cdot d) \\ & = (w,x,y,z) \cdot ((s,t,u,v) \cdot (a,b,c,d)) \end{aligned}$$

即$((w,x,y,z),\cdot)$满足结合律。

因此$((w,x,y,z),\cdot)$是半群。 得证。$\qquad \Box$

⭕还需证明分配律

5. 证明集合$X = \{x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3} : x, y, z \in \mathbb{Q}\}$是一个环。

Harry

显然，$(X, \cdot)$满足结合律，因此是一个半群。

只需证明$(X, +)$是一个群。又，显然$(X, +)$是结合律且可交换，故只需证明单位元和逆元存在。

$$\begin{aligned} (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}) + (0 + 0 \cdot 3^{1/3} + 0 \cdot 9^{1/3} ) \\ & = (x+0) + (y+0) \cdot 3^{1/3} + (z+0) \cdot 9^{1/3}\\ & = x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}\\ \end{aligned}$$

因此，存在单位元$(0 + 0 \cdot 3^{1/3} + 0 \cdot 9^{1/3} )$

又， $\forall x,y,z \in \mathbb{Q}$，显然$-x,-y,-z \in \mathbb{Q}$

$$\begin{aligned} (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}) + ((-x) + (-y) \cdot 3^{1/3} + (-z) \cdot 9^{1/3}) \\ & = (x+(-x)) + (y+(-y)) \cdot 3^{1/3} + (z+(-z)) \cdot 9^{1/3} \\ & = 0 + 0 \cdot 3^{1/3} + 0 \cdot 9^{1/3} \\ \end{aligned}$$

因此逆元存在。 故$(X, +)$是群。

命题得证。$\qquad \Box$

⭕ 还需证明分配律

6. 判断练习5中的集合$X$是否是一个域。

Harry

是一个域。即满足交换律、存在单位元和逆元。证明如下。

令$\forall x_1,y_1,z_1, x_2,y_2,z_2 \in \mathbb{Q}$$(X, \cdot)$

$$\begin{aligned} (x_1 + y_1 \cdot 3^{1/3} + z_1 \cdot 9^{1/3}) \cdot (x_2 + y_2 \cdot 3^{1/3} + z_2 \cdot 9^{1/3}) & = (x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot y_2 \cdot 3^{1/3} + x_1 \cdot z_2 \cdot 9^{1/3}) + \\ & \quad (y_1 \cdot 3^{1/3} \cdot x_2 + y_1 \cdot 3^{1/3} \cdot y_2 \cdot 3^{1/3} + y_1 \cdot 3^{1/3} \cdot z_2 \cdot 9^{1/3}) + \\ & \quad (z_1 \cdot 9^{1/3} \cdot x_2 + z_1 \cdot 9^{1/3} \cdot y_2 \cdot 3^{1/3} + z_1 \cdot 9^{1/3} \cdot z_2 \cdot 9^{1/3}) \\ & = (x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot 3^{1/3} \cdot x_2 + z_1 \cdot 9^{1/3} \cdot x_2 ) + \\ & \quad (x_1 \cdot y_2 \cdot 3^{1/3} + y_1 \cdot 3^{1/3} \cdot y_2 \cdot 3^{1/3} + z_1 \cdot 9^{1/3} \cdot y_2 \cdot 3^{1/3}) + \\ & \quad (x_1 \cdot z_2 \cdot 9^{1/3} + y_1 \cdot 3^{1/3} \cdot z_2 \cdot 9^{1/3} + z_1 \cdot 9^{1/3} \cdot z_2 \cdot 9^{1/3} ) + \\ & = (x_2 \cdot x_1 + x_2 \cdot y_1 \cdot 3^{1/3} + x_2 \cdot z_1 \cdot 9^{1/3} ) + \\ & \quad ( y_2 \cdot 3^{1/3} \cdot x_1 + y_2 \cdot 3^{1/3} \cdot y_1 \cdot 3^{1/3} + y_2 \cdot 3^{1/3} \cdot z_1 \cdot 9^{1/3}) + \\ & \quad (z_2 \cdot 9^{1/3} \cdot x_1 + z_2 \cdot 9^{1/3} \cdot y_1 \cdot 3^{1/3} + z_2 \cdot 9^{1/3} \cdot z_1 \cdot 9^{1/3} ) + \\ & = x_2 \cdot ( x_1 + y_1 \cdot 3^{1/3} + z_1 \cdot 9^{1/3} ) + \\ & \quad y_2 \cdot 3^{1/3} \cdot ( x_1 + y_1 \cdot 3^{1/3} + \cdot 9^{1/3}) + \\ & \quad z_2 \cdot 9^{1/3} \cdot ( x_1 + y_1 \cdot 3^{1/3} + z_1 \cdot 9^{1/3} ) + \\ & = (x_2 + y_2 \cdot 3^{1/3} + z_2 \cdot 9^{1/3}) \dot (x_1 + y_1 \cdot 3^{1/3} + z_1 \cdot 9^{1/3}) \end{aligned}$$

即交换律成立。

现证明其单位元存在。

$1,0,0 \in \mathbb{Q}$，有

$$\begin{aligned} (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}) \cdot (1 + 0 \cdot 3^{1/3} + 0 \cdot 9^{1/3}) & = (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}) \cdot (1 + 0 + 0) \\ & = (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}) \cdot 1 + (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}) \cdot 0 + z \cdot 9^{1/3} \cdot 0\\ & = x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3} \end{aligned}$$

同理，

$$\begin{aligned} (1 + 0 \cdot 3^{1/3} + 0 \cdot 9^{1/3}) \cdot (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}) & = (1+0+0) \cdot (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3})\\ & = 1 \cdot (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}) +0 \cdot (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}) + 0 \cdot z \cdot 9^{1/3} \\ & = x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3} \end{aligned}$$

所以，$(X, \cdot)$存在单位元$(1 + 0 \cdot 3^{1/3} + 0 \cdot 9^{1/3}) = 1$。

现在说明唯一逆元不存在。 假设$x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}$的逆元存在，且为$a + b \cdot 3^{1/3} + c \cdot 9^{1/3}$

$$\begin{aligned} (x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}) \cdot (a + b \cdot 3^{1/3} + c \cdot 9^{1/3} ) & = (x \cdot a + y \cdot 3^{1/3} \cdot a + z \cdot 9^{1/3} \cdot a ) + \\ & \quad (x \cdot b \cdot 3^{1/3} + y \cdot 3^{1/3} \cdot b \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3} \cdot b \cdot 3^{1/3}) + \\ & \quad (x \cdot c \cdot 9^{1/3} + y \cdot 3^{1/3} \cdot c \cdot 9^{1/3} + z \cdot 9^{1/3} \cdot c \cdot 9^{1/3} ) + \\ & = (x \cdot a + y \cdot 3^{1/3} \cdot a + z \cdot 9^{1/3} \cdot a ) + \\ & \quad (x \cdot b \cdot 3^{1/3} + y \cdot b \cdot 3^{2/3} + z \cdot b ) + \\ & \quad (x \cdot c \cdot 9^{1/3} + y \cdot c + z \cdot c \cdot (1+ 3^{1/3}) ) \\ & = (x \cdot a + y \cdot 3^{1/3} \cdot a + z \cdot 9^{1/3} \cdot a ) + \\ & \quad (x \cdot b \cdot 3^{1/3} + y \cdot b \cdot 9^{1/3} + z \cdot b ) + \\ & \quad (x \cdot c \cdot 9^{1/3} + y \cdot c + z \cdot c + z \cdot c \cdot 3^{1/3}) \\ & = (x \cdot a + z \cdot b + y \cdot c + z\cdot c ) + \\ & \quad (y \cdot a + x \cdot b + z \cdot c ) \cdot 3^{1/3} + \\ & \quad (z \cdot a + y \cdot b + x\cdot c) \cdot 9^{1/3} \\ \end{aligned}$$

求解上述方程中的$a,b,c$，得

$$\begin{cases} a = \frac{z - xz - xy}{y(x-y-z)} \\ b = 1 + \frac{y}{x-y-z} \\ c = \frac{-1}{x-y-z} \end{cases}$$

因为$x \neq 0,y \neq 0 ,z \neq 0$,所有$a,b,c$存在。

故，$x + y \cdot 3^{1/3} + z \cdot 9^{1/3}$存在逆元$a + b \cdot 3^{1/3} + c \cdot 9^{1/3}$，其中$a,b,c$如上。

⭕ 还需证明分配律

得证。$\qquad \Box$

7. 证明$(\mathbb{R}, +, \times)$是一个域。

Harry

封闭性：>

$\forall x,y \in \mathbb{R}$,显然$x + y \in \mathbb{R}$,$x \times y \in \mathbb{R}$

交换性:

$\forall x,y \in \mathbb{R}$,显然$x + y = y +x$,$x \times y = y \times x$

结合性:

$\forall x,y,z \in \mathbb{R}$,显然$(x + y) + z = x + (y+z)$,$(x \times y) \times z = x \times (y \times z)$

存在加法单位元：

$\forall x \in \mathbb{R}$,显然$0 + x= x + 0 = x$，即具有加法单位元0

存在乘法单位元：

$\forall x \in \mathbb{R}$,显然$1 \times x= x \times 1 = x$，即存在乘法元1

存在加法逆元：

$\forall x \in \mathbb{R}$,显然$x + (-x) = (-x) + x = 0$，即存在加法逆元$-x \in \mathbb{R}$

存在乘法逆元：

$\forall x \in \mathbb{R}, \text{ 且 } x \neq 0$,显然$\frac{1}{x} \in \mathbb{R}, \frac{1}{x} \times x = x \times \frac{1}{x} = 1$，即存在加法逆元$\frac{1}{x}$

分配律

$\forall x,y,z \in \mathbb{R}, x \times (y + z) = x \times y + x \times z = (y+z) \times x$

即，$(\mathbb{R}, + , \times)$为域。 命题得证。$\qquad \Box$

8. 证明$(-1) \cdot (-1) = 1$。

Harry

要证明$(-1) \cdot (-1) = 1$，我们可以通过基本的乘法性质和数字 -1 的定义来证明。

从乘法的定义出发：

$$a \cdot (-1) = -a$$

这是关于负数乘法的基本性质。

令$a = -1$：

$$(-1) \cdot (-1) = -(-1).$$

使用负数取反的定义：

$$-(-1) = 1.$$

对一个负数取反得到一个正数。

因此，我们证明了$(-1) \cdot (-1) = 1$。

9. 证明每个布尔环都是可交换的。

Harry

使用反证法。

若$(X, +, \times)$是一个布尔环。则$\forall x \in X,x^2=x$

$\forall x,y \in X$

$$\begin{aligned} x \times y \neq y \times x & \Rightarrow x^2 \times y \neq x \times y \times x \\ & \Rightarrow x \times y \neq x \times y \times x \\ & \Rightarrow x \times y \times y \neq x \times y \times x \times y \\ & \Rightarrow x \times y^2 \neq (x \times y)^2\\ & \Rightarrow x \times y \neq x \times y\\ \end{aligned}$$

显然是矛盾的。 因此，假设不成立。命题得证。$\qquad \Box$

10.令$2^X$表示集合$X$的所有子集。定义$2^X$上的两个二元运算 + 和$\cdot$为$A + B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)$和$A \cdot B = A \cap B$，其中$A, B \in 2^X$。证明$(2^X, +, \cdot)$是一个布尔环。

Harry

首先证明$(2^X, +, \cdot)$ 是环。

• 封闭性:$\forall A,B \in 2^X$

$$\begin{aligned} \forall x \in A + B & \Rightarrow x \in (A \cup B) \backslash (A \cap B) \\ & \Rightarrow x \in A \cup B \text{ 且 } x \notin A \cap B \\ \end{aligned}$$

因为$A \cup B \in 2^X$，所以$x \in 2^X$，因此$(2^X, +)$是封闭的。同理，显然$A \cap B \in x^2$，因此$(2^X,\cdot)$也是封闭的。故$(2^X, + , \cdot)$封闭。

*$(2^X, +)$可结合：

对任意$A, B, C \in 2^X$，有

$$\begin{aligned} (A + B) + C & = ((A \cup B) \backslash (A \cap B)) + C \\ & = ((A \cup B) \cup C) \backslash ((A \cap B) \cap C)\\ & = (A \cup (B \cup C)) \backslash (A \cap (B \cap C)) \\ & = A + (B + C) \end{aligned}$$

*$(2^X, +)$存在单位元：

$$\begin{aligned} A + \varnothing & = A \cup \varnothing \backslash A \cap \varnothing \\ & = A \cup \varnothing \backslash \varnothing \\ & = A \cup \varnothing \\ & = A \\ \end{aligned}$$

同理可得，$\varnothing + A = A$，因此$(2^X, +)$存在单位元$\varnothing$

*$(2^X, +)$存在逆元：

$$\begin{aligned} A + A & = A \cup A \backslash A \cap A \\ & = A \backslash A \\ & = A \cap A' \\ & = \varnothing \end{aligned}$$

即$A$在$+$上的逆元就是其自身$A$ *$(2^X, +)$可交换：

$$\begin{aligned} A + B & = A \cup B \backslash A \cap B \\ & = B \cup A \backslash B \cap A \\ & = B+A \end{aligned}$$

*$(2^X, \cdot)$可结合:

$$\begin{aligned} (A \cdot B) \cdot C & = (A \cap B) \cap C \\ & = A \cap (B \cap C) \\ & = A \cdot (B \cdot C) \end{aligned}$$

• 分配律:

$$\begin{aligned} A \cdot (B + C) & =A \cdot (B \cup C) \backslash (B \cap C) \\ & = A \cap ((B \cup C) \backslash (B \cap C)) \\ & = (A \cap B \cup A \cap C) \backslash (B \cap C) \\ A \cdot B + A \cdot C & =A \cap B + A \cap C\\ & =(A \cap B \cup A \cap C) \backslash (A \cap B \cap A \cap C)\\ & =(A \cap B \cup A \cap C) \backslash (A \cap B \cap C)\\ \forall x \in (A \cap B \cup A \cap C) \backslash (B \cap C) & \Rightarrow x \in (A \cap B \cup A \cap C) \text{ 且 } x \notin B \cap C\\ \end{aligned}$$

再证明$(2^X, +, \cdot)$是布尔环。

$$\begin{aligned} A \cdot A = A \cap A = A \end{aligned}$$

由此，命题得证。$\qquad \Box$

1.2.4 向量空间

线性方程组解的理论是更广泛的代数结构理论的一部分，该代数结构称为向量空间。由于我们假设读者熟悉这个主题，因此我们对向量空间的处理将非常简短，仅设计为回顾一些基本概念和定理。这些基本概念和定理在格向量空间的代数结构中有相应之处。 虽然在初等线性代数课程中，向量空间理论通常涉及欧氏向量空间$\mathbb{R}^n$，但是向量加法和标量乘法的操作在数学和工程中的许多不同背景中都有应用。然而，无论上下文如何，这些操作都遵循相同的一组算术规则。在一般情况下，标量是某个域的元素，这个域可能不同于实数。

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定义 1.14：域$(\mathbb{F},\diamond, \circ)$上的向量空间$\mathbb{V}$，表示为$\mathbb{V}(\mathbb{F})$，是一个“可加”阿贝尔群$\mathbb{V}$，连同一种称为标量乘法的操作，该操作是将$\mathbb{F}$的元素左乘每个$\mathbb{V}$的元素，且对于所有的$α、β \in \mathbb{F}$和$\mathbf{v}、\mathbf{w} \in \mathbb{V}$满足以下五个条件：

$V_1$.$α \circ \mathbf{v} \in \mathbb{V}$

$V_2$.$α \circ (β \circ \mathbf{v}) = (α \circ β) \circ \mathbf{v}$

$V_3$.$(α \diamond β) \circ \mathbf{v} = (α \circ \mathbf{v})\diamond(β \circ \mathbf{v})$

$V_4$.$α \circ (\mathbf{v} \diamond \mathbf{w}) = (α \circ v) \diamond (α \circ \mathbf{w})$

$V_5$.$1 \circ \mathbf{v} = \mathbf{v}$

$\mathbb{V}$中的元素被称为向量，而$\mathbb{F}$中的元素被称为标量。

如果标量域$\mathbb{F}$在讨论的上下文中是清楚的，那么习惯上用符号$\mathbb{V}$代替$\mathbb{V}(\mathbb{F})$。我们还注意到，与迄今为止讨论的代数系统相比，向量空间的标量乘法不是一个集合上的二元运算，而是一个规则，它将$\mathbb{F}$中的一个元素$\alpha$和$\mathbb{V}$中的一个元素$\mathbf{v}$关联起来，得到$\mathbb{V}$中的一个元素$\alpha \circ \mathbf{v}$。

例 1.9 从例 1.8 可以推出，对于任意域$\mathbb{F}$，$M_{n×n}(\mathbb{F})$是一个加法阿贝尔群。如果定义标量乘法为

$$\alpha \circ (a_{ij}) = (\alpha \circ a_{ij}) \quad \forall \alpha \in \mathbb{F} \text{ 且 } \forall (a_{ij}) \in M_{n \times n}(\mathbb{F}):$$

显然，标量乘法是明确定义（well-defined）的，因为$\alpha$和$a_{ij}$都是$\mathbb{F}$中的元素，因此$\alpha \circ a_{ij} \in \mathbb{F}$。因此，定义 1.14 中的公理$V_1$到$V_5$都成立，证明了$M_{n×n}(\mathbb{F})$是$\mathbb{F}$上的一个向量空间。

在线性空间理论中最重要的概念之一是线性无关性。为了与向量空间理论中使用的标准符号一致，本章的其余部分将使用$+$表示$\diamond$，使用$×$表示$\circ$。

定义1.15 设$\mathbb{V}(\mathbb{F})$是一个向量空间，令$S = {\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, ..., \mathbf{v}_k}$是$\mathbb{V}$的子集。如果对于每一组标量$α_1, α_2, ..., α_k$，都有

$$α_1 \cdot \mathbf{v}_1 + α_2 · \mathbf{v}_2 + ··· + α_k \cdot \mathbf{v}_k = 0 \Rightarrow α_i = 0，\text{ 对于 } i = 1, 2, ..., k；\tag{1.6}$$

则称$S$中的向量在域$\mathbb{F}$上线性无关。在这个定义中，$\mathbf{0}$表示$\mathbb{V}$中的零，而$0$表示$\mathbb{F}$中的零。如果这些向量在域$\mathbb{F}$上不是线性无关的，那么它们在域$\mathbb{F}$上就是线性相关的。

注意，如果向量在$\mathbb{F}$上线性相关，那么对于某些标量$α_1, α_2,..., α_k$的组合， 存在至少一个$i \in {1,2,...,k}$有$\exist a_i \neq 0$，使得

$$\alpha_1 \cdot \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \cdot \mathbf{v}_2 + \cdots + \alpha_k \cdot \mathbf{v}_k = 0 \tag{1.7}$$

在这种情况下，我们可以解出$\mathbf{v}_i$：

$$\mathbf{v}_i = \sum_{j \neq i} \beta_j \mathbf{v}_j \quad \text{ 其中 } \beta_j = -\frac{\alpha_j}{\alpha_i} \tag{1.8}$$

也就是说，$\mathbf{v}_i$可以表示为剩余向量的线性组合；即$\mathbf{v}_i$依赖于剩余的$\mathbf{v}_j$。

如果$\mathbb{V}$是一个向量空间，那么$\mathbb{V}$的某些子集本身在$\mathbb{V}$上定义的向量加法和标量乘法下也构成向量空间。这些向量空间称为$\mathbb{V}$的子空间。例如，集合$\mathbb{W} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y = 2x\}$是$\mathbb{R}^2$的一个子空间。显然，如果$(x,y) \in \mathbb{W}$，那么定义$u = αx$和$v = αy$，我们看到$v = αy = α(2x) = 2(αx) = 2u$对于任意实数$α$都成立。因此，$α(x,y) = (αx,αy) = (u,2u) \in \mathbb{W}$，满足定义 1.20 中的公理$V_1$。剩余的四个向量空间公理也同样容易验证。然而，为了证明一个子集$\mathbb{W}$是一个向量空间$\mathbb{V}$的子空间，不必验证公理$V_2$到$V_5$。下面的定理，我们不加证明地给出，表明除了公理$V_1$之外，我们只需要证明$\mathbb{W}$在向量加法下是封闭的。

定理 1.10 如果$\mathbb{W}$是一个向量空间$\mathbb{V}(\mathbb{F})$的非空子集，那么$\mathbb{W}$是$\mathbb{V}$的一个子空间，当且仅当满足以下条件：

1. 如果$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{W}$，那么$\mathbf{v} + \mathbf{w} \in \mathbb{W}$，以及
2. 如果$α \in \mathbb{F}$和$\mathbf{w} \in \mathbb{W}$，那么$α\mathbf{w} \in \mathbb{W}$。

设$\mathbb{W} = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\}$是一个向量空间$\mathbb{V}$的子集，设$S(\mathbb{W})$表示所有向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,..., \mathbf{v}_k$的线性组合的集合。即，

$$S(\mathbb{W}) = \{\mathbf{v} : \mathbf{v} = \sum_{i=1}^k \alpha_i \mathbf{v}_i\}: \tag{1.9}$$

因此，如果$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in S(\mathbb{W})$，且$\mathbf{v} = \sum_{i=1}^k \alpha_i \mathbf{v}_i$和$\mathbf{w} = \sum_{i=1}^k \beta_i \mathbf{v}_i$，那么对于任意$α \in \mathbb{F}$，有$α\mathbf{v} = \sum_{i=1}^k \gamma_i \mathbf{v}_i$，其中$\gamma_i = \alpha \alpha_i$，以及$\mathbf{v}+\mathbf{w} = \sum_{i=1}^k \delta_i \mathbf{v}_i$，其中$\delta_i = \alpha_i +\beta_i$。因此，$α\mathbf{v}$和$\mathbf{v} + \mathbf{w}$都在$S(\mathbb{W})$中，根据定理 1.10，$S(\mathbb{W})$是$\mathbb{V}$的一个子空间。 子空间$S(\mathbb{W})$是$\mathbb{V}$的一个子空间，称它由$\mathbb{W}$张成(spanned)，而$\mathbb{W}$中的向量称为向量空间$S(\mathbb{W})$的生成元(generators)。如果$S(\mathbb{W}) = \mathbb{V}$，那么我们说$\mathbb{W}$是$\mathbb{V}$的一个张成集。特别地，如果$\mathbb{W}$是$\mathbb{V}$的一个张成集(span)，那么$\mathbb{V}$中的每个向量$\mathbf{v} \in \mathbb{V}$都是$\mathbb{W}$中的向量的线性组合。

与张成集的概念密切相关的是基和维数的概念。对于科学的学生来说，维数的概念是一个自然的概念。他们通常认为一条线是一维的，一个平面是二维的，而他们周围的空间是三维的。下面的定义使这些概念更加精确。

定义 1.16 向量空间$\mathbb{V}$的基(basis)是张成$\mathbb{V}$的线性无关向量集。

我们提醒读者，一个向量空间的一个基只是在研究各种数学系统时遇到的许多种基中的一种。一个向量空间的一个基反映了向量空间的代数性质，并且与空间的线性代数性质密切相关，而一个拓扑空间的一个基提供了空间的基本几何性质。一旦确定了一个数学系统的一个基，我们就可以相对于这个基来描述所研究的系统的性质。关于一个向量空间的一个基的最重要的事实可以总结如下。设$\mathbb{V}$是一个向量空间，$B = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\} \subset \mathbb{V}$。

1. 如果$B$是$\mathbb{V}$的一个基，那么$\mathbb{V}$中的每个向量都可以唯一地表示为$B$中的元素的线性组合。
2. 如果$\mathbb{V}$中的每个向量都可以唯一地表示为$B$中的元素的线性组合，那么$B$是$\mathbb{V}$的一个基。
3. 如果$B$是$\mathbb{V}$的一个基，且$C \subset \mathbb{V}$且$card(C) > card(B)$，那么$C$不是线性无关的。

命题 2 立即由零向量有唯一的关于$\mathbf{v}_i$的表示这一观察得出。因此，$\mathbf{v}_i$必须是线性无关的。命题 3 暗示了一个向量空间的一个基中的元素个数必须是唯一的；也就是说，给定一个向量空间的每个基都有相同的元素个数。因此，如果$B$是一个基且$card(C) \gt card(B)$，那么$C$也会张成$\mathbb{V}$，但$C$不可能是$\mathbb{V}$的一个基。考虑到这一点，我们定义一个向量空间$\mathbb{V}$的维数为$\mathbb{V}$的任意一个基的基数，并用符号$dim(\mathbb{V})$表示$\mathbb{V}$的维数。

我们用以下有关的向量空间的例子结束这一节。

例 1.10

1. 对于$i = 1, 2,...,n$，设$e^i = (e^i_1,e^i_2,...,e^i_n) \in \mathbb{R}^n$，由$e^i_j = 1$当$j = i$，以及$e^i_j = 0$当$j \neq i$定义。那么$E = \{e^i : i = 1, 2, ..., n\}$是$\mathbb{R}^n$的一个基，因为任意向量$x = (x_1, x_2, ...., x_n) \in \mathbb{R}_n$都可以唯一地表示为$\mathbf{x} = x_1 \mathbf{e}^1 + x_2 \mathbf{e}^2 + \cdots + x_n \mathbf{e}^n$集合$E$被称为$\mathbb{R}^n$的标准基(standard basis)。$\mathbb{R}^n$的维数是$n$。
2. 设

$$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \text{和} \mathbf{v}_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}:$$

那么$B = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}$是$M_{2×2}(\mathbb{R})$的一个基。任意向量$\mathbf{v} =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$可以唯一地写成$\mathbf{v} = a\mathbf{v}_1 + b\mathbf{v}_2 + c\mathbf{v}_3 + d\mathbf{v}_4$。因此，$dim(M_{2 \times 2}(\mathbb{R})) = 4$。

练习 1.2.4

1. 证明如果$B = \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\}$是域$\mathbb{F}$上的向量空间$\mathbb{V}$的基，且$C = \{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k\}$是$\mathbb{V}$中的线性无关向量集，那么$k \leq n$。

Harry

由于$B$是$\mathbb{V}$的基，那么$\mathbb{V}$中的任意向量都可以由$B$中的向量线性表出，即

$$\forall \mathbf{w} \in \mathbb{V}, \exists a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{F} \text{ : } \mathbf{w} = a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n$$

特别地，对于$C$中的任意向量，也有

$$\forall \mathbf{w}_i \in C, \exists a_{i1}, a_{i2}, \ldots, a_{in} \in \mathbb{F} \text{ : } \mathbf{w}_i = a_{i1} \mathbf{v}_1 + a_{i2} \mathbf{v}_2 + \cdots + a_{in} \mathbf{v}_n$$

将上式写成矩阵形式，有

$$\begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nk} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{bmatrix}^\top$$

令

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nk} \end{bmatrix}$$

则

$$\begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_k \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{bmatrix}^\top$$

由于 C 是线性无关的，那么 C 的秩为 k，即

$$\operatorname{rank} \begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_k \end{bmatrix} = k$$

由秩的性质，有

$$k = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_k \end{bmatrix} \leq \operatorname{rank} A \leq \min \{n, k\}$$

因此，必有

$$k \leq n$$

证毕。$\qquad \Box$

2. 证明如果$B = \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\}$是域$\mathbb{F}$上的向量空间$\mathbb{V}$的基，那么$\mathbb{V}$的任何其他基都有和$B$相同的向量个数。

Harry

假设$C = \{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k\}$是$\mathbb{V}$的另一个基，我们要证明$k = n$。

首先，由于$B$是$\mathbb{V}$的基，那么$B$是线性无关的，并且$\mathbb{V}$中的任意向量都可以由$B$中的向量线性表出。因此，$C$中的每个向量都可以由$B$中的向量线性表出，即

$$\forall \mathbf{w}_i \in C, \exists a_{i1}, a_{i2}, \ldots, a_{in} \in \mathbb{F} \text{ : } \mathbf{w}_i = a_{i1} \mathbf{v}_1 + a_{i2} \mathbf{v}_2 + \cdots + a_{in} \mathbf{v}_n$$

将上式写成矩阵形式，有

$$\begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nk} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{bmatrix}^\top$$

令

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nk} \end{bmatrix}$$

则

$$\begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_k \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{bmatrix}^\top$$

由于$C$是$\mathbb{V}$的基，那么$C$是线性无关的，因此

$$\operatorname{rank} \begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_k \end{bmatrix} = k$$

由秩的性质，有

$$k = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_k \end{bmatrix} \leq \operatorname{rank} A \leq \min \{n, k\}$$

因此，必有

$$k \leq n$$

另一方面，由于$C$是$\mathbb{V}$的基，那么$C$也是$\mathbb{V}$的一个生成集，因此$B$中的每个向量都可以由$C$中的向量线性表出，即

$$\forall \mathbf{w}_i \in B, \exists b_{i1}, b_{i2}, \ldots, b_{ik} \in \mathbb{F} \text{ : } \mathbf{w}_i = b_{i1} \mathbf{v}_1 + b_{i2} \mathbf{v}_2 + \cdots + b_{ik} \mathbf{v}_k$$

将上式写成矩阵形式，有

$$\begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1k} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nk} \end{bmatrix}^\top$$

令

$$B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1k} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nk} \end{bmatrix}$$

则

$$\begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_k \end{bmatrix} B^\top$$

由于$B$是$\mathbb{V}$的基，那么$B$也是线性无关的，因此

$$\operatorname{rank} \begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_n \end{bmatrix} = n$$

由秩的性质，有

$$n = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_n \end{bmatrix} \leq \operatorname{rank} B \leq \min \{n, k\}$$

因此，必有

$$n \leq k$$

综上，我们得到

$$k \leq n \leq k$$

即

$$k = n$$

证毕。$\qquad \Box$

3. 假设$dim(\mathbb{V}) = n$，而$U = \{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k\}$是$\mathbb{W} \subset \mathbb{V}$的基，其中$k < n$。证明如果$\mathbf{v} \in \mathbb{V}$且$\mathbf{v} \notin \mathbb{W}$，那么$U \cup \{\mathbf{v}\}$是一组线性无关的向量。

Harry

假设$U \cup \{\mathbf{v}\}$是一组线性相关的向量，那么存在一组不全为零的系数$c_1, c_2, \ldots, c_k, c_{k+1} \in \mathbb{F}$，使得

$$c_1 \mathbf{w}_1 + c_2 \mathbf{w}_2 + \cdots + c_k \mathbf{w}_k + c_{k+1} \mathbf{v} = 0$$

由于$\mathbf{v} \notin \mathbb{W}$，那么$\mathbf{v}$不能由$\mathbb{W}$中的向量线性表出，因此$c_{k+1} \neq 0$。否则，如果$c_{k+1} = 0$，那么上式就变成

$$c_1 \mathbf{w}_1 + c_2 \mathbf{w}_2 + \cdots + c_k \mathbf{w}_k = 0$$

由于$U$是$\mathbb{W}$的基，那么$U$是线性无关的，因此上式只有当$c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$时才成立，这与系数不全为零的假设矛盾。

所以，我们有$c_{k+1} \neq 0$，那么我们可以将上式两边同时除以$c_{k+1}$，得到

$$\frac{c_1}{c_{k+1}} \mathbf{w}_1 + \frac{c_2}{c_{k+1}} \mathbf{w}_2 + \cdots + \frac{c_k}{c_{k+1}} \mathbf{w}_k + \mathbf{v} >= 0$$

移项可得

$$\mathbf{v} = -\frac{c_1}{c_{k+1}} \mathbf{w}_1 - \frac{c_2}{c_{k+1}} \mathbf{w}_2 - \cdots - \frac{c_k}{c_{k+1}} \mathbf{w}_k$$

这说明$\mathbf{v}$可以由$U$中的向量线性表出，这与$\mathbf{v} \notin \mathbb{W}$的条件矛盾。

因此，我们得出结论，$U \cup \{\mathbf{v}\}$是一组线性无关的向量。

证毕。$\qquad \Box$

1.2.5 同态和线性变换

在本书中，我们处理各种类型的数学系统。术语“抽象数学系统”或“代数系统”用于描述任何明确定义的数学对象集合，例如，由集合及其上的关系和操作组成，以及一系列命题、定义和定理，描述结构的各种性质。

一个基本重要的事实是，即使这些系统的结构很少，比如半群或群，通常也可以根据它们是否在数学上相似或等价来对它们进行分类。这些概念通过抽象系统之间的同态关系在数学上得到精确定义。

定义 1.17 设$G=(G,\bigstar)$和$\mathcal{G}=(\mathcal{G},\circ)$是两个带有二元运算$\star$和$\circ$的代数系统。从$G$到$\mathcal{G}$的同态（homomorphism）是一个函数$\psi:G\to \mathcal{G}$，使得对于任意的$g,h\in G$，有

$$\psi(g\bigstar h)=\psi(g)\circ \psi(h) \tag{1.10}$$

因此，同态要求保持系统的运算，即在$G$中进行运算$g\bigstar h$然后再应用函数$\psi$得到的结果，和先分别对$g$和$h$应用$\psi$然后再在$\mathcal{G}$中进行运算$\psi(g)\circ \psi(h)$是相同的。如果存在这样的函数，那么这两个系统就称为同态的。

根据定义，一个同态不必是$G$和$\mathcal{G}$之间的单射。满射的函数如果也是单射，就称为双射，并且导致了极其重要的同构的概念。

定义 1.18 设$G=(G,\bigstar)$和$\mathcal{G}=(\mathcal{G},\circ)$是两个系统。从$G$到$\mathcal{G}$的同构（isomorphism）是一个既是同态又是双射的函数$\psi:G\to \mathcal{G}$。

如果存在这样的同态，那么我们就说这两个系统是同构的，并且用$G\approx \mathcal{G}$表示。因此，$G$和$\mathcal{G}$是同构的意味着它们除了元素和运算的名字之外是相同的。也就是说，我们可以通过把$G$中的一个元素$g$用$\mathcal{G}$中的一个特定元素$\mathfrak{g}$重命名，即$\mathfrak{g}=\psi(g)$，并且把运算$\bigstar$重命名为$\circ$来得到$\mathcal{G}$。那么$g\bigstar h$的对应物就是$\mathfrak{g}\circ \mathfrak{h}$。如果我们把同构看作是一个系统的重命名，使得它和另一个系统一样，那么下一个定理就非常显然，这在 [293] 中有证明。

定理 1.11 设$G$和$\mathcal{G}$是两个群，假设$e$是$G$的单位元。如果$\psi: G \to \mathcal{G}$是 同构，那么$\psi(e)$是$\mathcal{G}$的单位元。而且，

$$\psi(g^{−1}) = [ \psi(g)]^{−1} \quad \forall g \in G \tag{1.11}$$

该定理的本质是同构把单位元映到单位元，把逆元映到逆元。

从我们的讨论可以立即看出，每个系统都与自身同构；我们只需让$\psi$是恒等函数。要判断两个不同的系统是否同构可能是一项困难的任务。根据定义， 可以用以下算法来证明两个系统$G = (G,\bigstar)$和$\mathcal{G} = (\mathcal{G},\circ)$是同构的：

步骤 1. 定义从 $G$ 到$\mathcal{G}$的函数$\psi$，它是同构的候选函数。

步骤 2. 证明$\psi$是一个单射函数。

步骤 3. 证明$\psi$是一个满射函数。

步骤 4. 证明$\psi(g\bigstar h) = \psi(g) \circ \psi(h)$。

步骤4通常只是一个计算问题。计算方程的两边，检查它们是否相同。我们用一个例子来说明这个过程。

例子 1.11 我们想要证明$(\mathbb{R},+)$同构于$(\mathbb{R}^+,\cdot)$。

步骤1：定义从$\mathbb{R}$到$\mathbb{R}^+$的函数$\psi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$，$\psi(x) = e^x \quad \forall x \in \mathbb{R}$。

步骤2：如果$\psi(x) = \psi(y)$，那么$e^x = e^y$，通过取自然对数，我们得到$x = y$。因此，是单射。

步骤3：如果$x \in \mathbb{R}^+$，那么$\psi(ln (x)) = e^{ln (x)} = x$。因此，对于每个$x \in \mathbb{R}^+$，$\exists y \in \mathbb{R}$，即$y = ln(x)$，使得$\psi(y) = x$。因此，是满射的。

步骤4：对于$x , y \in \mathbb{R}$，我们有

$$\psi(x+y) = e^{x+y} = e^x \cdot e^y = \psi(x) \cdot \psi(y)$$

在代数中，相同的概念总是被称为同构。要证明两个系统不同构，就是要证明不存在一个保持一一对应的代数结构系统。当两个系统有不同的元素个数时，这是一个平凡的问题。例如，由于$card(\mathbb{Z}) = \aleph_0 < \zeta = card(\mathbb{R})$，它们作为代数结构永远不可能同构。

到目前为止，我们只讨论了有一个运算的系统。然而，同构的概念很容易推广到有多个运算的系统。

定义 1.19 两个环$R$和$\mathfrak{R}$被称为同构，表示为$R \approx \mathfrak{R}$，当且仅当存在一个单射且满射（即双射）的函数$\psi: R \to \mathfrak{R}$，使得

$$\psi(r + s) = \psi(r) + \psi(s); \tag{1.12}$$

$$\psi(r \cdot s) = \psi(r) \cdot \psi(s): \tag{1.13}$$

如果存在这样的函数$\psi$，则称其为环同构。

例 1.12 考虑环$(\mathbb{R}^n, +, \cdot)$，其中加法对应于向量加法，乘法由相应的向量分量相乘定义；即，

$$(x_1, x_2, \ldots, x_n) + (y_1, y_2, \ldots, y_n) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n) \tag{1.14}$$

和Hadamard乘法

$$(x_1, x_2, \ldots, x_n) \cdot (y_1, y_2, \ldots, y_n) = (x_1 \cdot y_1, x_2 \cdot y_2, \ldots, x_n \cdot y_n) \tag{1.15}$$

留给读者来证明$(\mathbb{R}^n, +, \cdot)$是一个带有单位元的交换环。假设$X$是一个具有$n$个元素的有限集，例如 $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$，并且$\psi: \mathbb{R}^X \to \mathbb{R}^n$被定义为

$$\psi(f) = (f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_n))$$

Harry

$\mathbb{R}^X$ 可以理解为由 $X$ 中的元素索引的实数组成的 $n$ 维向量空间。

每个元素 $x_i$ 对应于向量空间中的一个维度，而该元素的取值范围是实数域（通常是所有实数）。因此，$\mathbb{R}^X$ 表示的是由 $X$ 中元素索引的 n 维实数向量空间。

举例来说，如果 $X=\{x_1, x_2, x_3\}$，那么 $\mathbb{R}^X$ 可能表示一个三维实数向量空间，其中每个向量可以表示为 $(a, b, c)$，其中 $a、b、c$ 是实数，分别对应于 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 的取值。

如果$(y_1, y_2, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}^n$并且$g \in \mathbb{R}^X$是由$g(x_i) = y_i$定义的函数（$i = 1,2, \ldots, n$），那么$\psi(g) = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$。因此，是满射的。证明单射同样简单。此外，

$$\begin{aligned} \psi(f + h) & = ((f + h)(x_1), (f + h)(x_2), \ldots, (f + h)(x_n)) \\ & = (f(x_1) + h(x_1), f(x_2) + h(x_2), \ldots, f(x_n) + h(x_n)) \tag{1.16} \\ & = (f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_n)) + (h(x_1), h(x_2), \ldots, h(x_n)) \\ & = \psi(f) + \psi(h) \end{aligned}$$

Harry

⭕ 在满射的证明中，为什么 $\mathbb{R}^X$的元素可以是函数$g$？

这是因为$\mathbb{R}^X$是$X$的索引集合，也就是由$X$变换而来的集合，因此可以用函数$g$表示$\mathbb{R}^X$的元素。

类似的论证表明 $\psi(f \cdot h) = \psi(f) \cdot \psi(h)$。这表明环 $(\mathbb{R}^n, +, \cdot)$ 和 $(\mathbb{R}^X, +, \cdot)$ 是同构的。当然，通过以类似的方式论证，我们可以证明对于任何域 $\mathbb{F}$，相应的环 $(\mathbb{F}^n, +, \cdot)$ 和 $(\mathbb{F}^X, +, \cdot)$ 也是同构的。

Harry

⭕ 如何证明？

本节中考虑的最后一类函数是线性变换。这些是在研究向量空间时最重要的函数。

定义 1.20 将向量空间 $\mathbb{V}(\mathbb{F})$ 映射到向量空间 $\mathbb{W}(\mathbb{F})$ 的线性变换或线性算子是一个函数 $L：\mathbb{V}(\mathbb{F}) \to \mathbb{W}(\mathbb{F})$，满足以下方程式：

$$L(α \cdot \mathbf{u} + β \cdot \mathbf{v}) = α \cdot L (\mathbf{u}) + β \cdot L(\mathbf{v}) \tag{1.17}$$

其中 $\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{V}(\mathbb{F})$以及$\forall α, β \in \mathbb{F}$。如果此外 $L$ 既是单射又是满射，那么 $L$ 被称为向量空间同构，而向量空间 $\mathbb{V}$ 和 $\mathbb{W}$ 被称为同构的向量空间。与之前一样，符号 $\mathbb{V} \approx \mathbb{W}$ 表示 $\mathbb{V}$ 和 $\mathbb{W}$ 是同构的。

线性变换的等价定义可以在许多教材中找到，如下定理所示（参见引用 [10, 85, 163]）。

定理 1.12 对于函数 $L：\mathbb{V}(\mathbb{F}) \to \mathbb{W}(\mathbb{F})$，它是一个线性变换，对于$\forall \alpha \in \mathbb{F}$ 和$\forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in \mathbb{V}$，以下条件成立：

1. $L(\alpha \cdot \mathbf{u} + \beta \cdot \mathbf{v}) = \alpha \cdot L(\mathbf{u}) + \beta \cdot L(\mathbf{v})$
2. $L(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = L(\mathbf{u})+ L(\mathbf{v})$

如果 $L$ 是将向量空间 $\mathbb{V}(\mathbb{F})$ 映射到向量空间 $\mathbb{W}(\mathbb{F})$ 的线性变换，那么：

1. $L(\mathbf{0}_{\mathbb{V}}) = \mathbf{0}_{\mathbb{W}}$，其中 $\mathbf{0}_{\mathbb{V}}$ 和 $\mathbf{0}_{\mathbb{W}}$ 分别是 $\mathbb{V}$ 和 $\mathbb{W}$ 中的零向量，并且
2. 如果 $\mathbf{v}_1, ..., \mathbf{v}_n$ 是 $\mathbb{V}$ 的元素，$α_1, ... , α_n$ 是 $\mathbb{F}$ 中的标量，那么 $L(α_1·\mathbf{v}_1 + α_2·\mathbf{v}_2 + ... + α_n·\mathbf{v}_n) = α_1·L(\mathbf{v}_1) + α_2·L(\mathbf{v}_2) + ... + α_n·L(\mathbf{v}_n)$

第一条命题（1）可以从条件$L(α·\mathbf{u} + β·\mathbf{v}) = α·L(\mathbf{u}) + β·L(\mathbf{v})$（其中$α = 0，β = 0$）中得出。第二条命题（2）可以通过数学归纳法轻松证明。

例1.13 回顾例1.12中定义的函数：$\mathbb{R}^X \to \mathbb{R}^n$，当$card(X) = n$时是单射和满射。现在假设$k \in \mathbb{R}$, $f,h\in \mathbb{R}^X$。通过定义函数$(k·f)：X → \mathbb{R}$ 为$(k·f)(x) = k·f(x)$，我们有

$$\begin{aligned} \psi(k·f) & = ((k·f)(x_1),(k·f)(x_2),...,(k·f)(x_n)) \\ & = (k·f(x_1),k·f(x_2),...,k·f(x_n))\\ & = k·(f(x_1),f(x_2),...,f(x_n))\\ & = k·(f) \end{aligned}$$

在例1.12中已经证明了$\psi(f+h) = \psi(f) + \psi(h)$。因此，根据定理1.12，$\psi$是一个向量空间同构，$\mathbb{R}^X$和$\mathbb{R}^n$是同构的向量空间。

练习1.2.5

1. 考虑群$(\mathbb{Z},+)$和$(3\mathbb{Z},+)$，其中$3\mathbb{Z} = \{3n: n \in \mathbb{Z}\}$。判断函数：$\mathbb{Z} \to 3\mathbb{Z}$，定义为$\psi(n) = 3n$，是否是同构。

Harry

$$\begin{aligned} \psi(m) = \psi(n) & \Leftrightarrow 3m = 3n \\ & \Leftrightarrow m = n \end{aligned}$$

所以 $\psi(n)$ 是单射。

又，

$$\begin{aligned} \forall x \in 3\mathbb{Z} & \Leftrightarrow x = 3 \times \frac{1}{3} x, \frac{1}{3}x \in \mathbb{Z} \\ & \Leftrightarrow \psi(\frac{1}{3}x) = x \end{aligned}$$

因此 $\psi(n)$ 是满射。

再，$\forall x, y \in \mathbb{Z}$

$$\begin{aligned} \psi(x \times y) & = 3 (x \times y)\\ & = 3x \times y \\ & \neq 3x \times 3y \\ & = \psi(x) \times \psi(y) \end{aligned}$$

即： $\psi(xy) \neq \psi(x)\times \psi(y)$

故： $\psi(n) = 3n$ 不是同构。$\qquad \Box$

2. 令$G = \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$。判断群$(G,×)$和$(\mathbb{R},+)$是否同构。

Harry

步骤1: 定义函数 $\mathbb{R} \to G:\psi(x)=e^{x}$

步骤2:

$$\begin{aligned} \forall x,y \in G, \psi(x) = \psi(y) & \Leftrightarrow e^{x} = e^{y}\\ & \Leftrightarrow ln(e^{x}) = ln(e^{y}) \\ & \Leftrightarrow x = y \end{aligned}$$

因此, $\psi(x)$是单射。

步骤3:

$$\begin{aligned} \forall x \in G, \exist y \in \mathbb{R}, y = ln(x), \psi(y) = e^{y} = e^{ln(x)} = x \end{aligned}$$

因此，$\psi(x)$是满射。

步骤4:

$$\begin{aligned} \psi(x \times y ) = e^{x + y} = e^{x} \times e^{y} = \psi(x) \times \psi(y) \end{aligned}$$

因此 ，$G,\mathbb{R}$同态。

综上， $G,\mathbb{R}$ 同构。

⭕ 有问题。 首先，我们需要了解群以及同构的定义： 群是一个集合，配合一个二元运算，满足四个条件：封闭性、结合律、存在单位元、每个元素存在逆元。

同构是指两个群在结构上是完全相似的，即存在一个双射函数，可以将一个群完全映射到另一个群，并且满足运算结构的保持。

对于群$(G,×)$和$(\mathbb{R},+)$。$G=\mathbb{R}^n\backslash\{0\}$，其中，$×$ 操作为向量的点乘，这个运算不满足群的性质，因为向量的点乘不一定存在逆元，比如对任意非零向量$x$，不存在另一向量使得两者点乘得到单位元1。所以 $(G,×)$ 不构造成群。

$(\mathbb{R},+)$ 是群，其中，+代表实数的加法，这个运算满足群的所有性质。 因此，群$(G,×)$和$(\mathbb{R},+)$无法进行同构对比，因为$(G,×)$ 不构成一个群。

3. 判断环$(2\mathbb{Z},+,×)$和$(3\mathbb{Z},+,×)$是否同构。

Harry

步骤1: 定义函数 $2\mathbb{Z} \to 3\mathbb{Z}: \psi(x)=\frac{3}{2} x$

步骤2:

$$\begin{aligned} \forall x,y \in 2\mathbb{Z} & \Rightarrow x = 2n,y=2m, n,m \in \mathbb{Z} \\ \psi(x) = \psi(y) & \Leftrightarrow \psi(2n) =\psi(3m)\\ & \Leftrightarrow \frac{3}{2} \times 2n = \frac{3}{2} \times 2m \\ & \Leftrightarrow 3n = 3m \\ & \Leftrightarrow n = m \\ & \Leftrightarrow 2n = 2m \\ & \Leftrightarrow x = y \\ \end{aligned}$$

因此, $\psi(x)$是单射。

步骤3:

$$\begin{aligned} \forall x \in 3\mathbb{Z}, \exist n \in \mathbb{Z}, x = 3n, y=2n, \psi(y) = \psi(2n) = \frac{3}{2} \times 2n = 3n = x \end{aligned}$$

因此，$\psi(x)$是满射。

步骤4:

$$\begin{aligned} \psi(x + y ) = \frac{3}{2} \times (2n+2m) = \frac{3}{2} \times 2n + \frac{3}{2} \times 2m = \psi(x) + \psi(y) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \psi(x \times y ) = \frac{3}{2} \times (2n \times 2m) = (\frac{3}{2} \times 2n )\times (\frac{3}{2} \times 2m) = \psi(x) \times \psi(y) \end{aligned}$$

综上， $(2\mathbb{Z},+,×)$和$(3\mathbb{Z},+,×)$ 同构。

4. 假设$\mathbb{V}$、$\mathbb{W}$和$\mathbb{U}$是三个向量空间，且向量空间$\mathbb{V}$和$\mathbb{W}$都同构于$\mathbb{U}$。展示如何将这两个同构组合以生成从$\mathbb{V}$到$\mathbb{W}$的同构。

Harry

如果 $\mathbb{V}$ 和 $\mathbb{W}$ 都同构于$\mathbb{U}$，那么存在两个线性变换 $f: \mathbb{V} \to \mathbb{U}$和$g: \mathbb{W} \to \mathbb{U}$，使得$f$和$g$都是双射。也就是说，$f$和$g$都是一一对应的，并且保持向量的加法和标量乘法。

要从$\mathbb{V}$到$\mathbb{W}$生成一个同构，我们可以利用$f$和$g$的逆变换。我们定义一个线性变换$h: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$，使得 $h = g^{-1} \circ f$。也就是说，$h$是先将 $\mathbb{V}$ 中的向量映射到 $\mathbb{U}$ 中，然后再将$\mathbb{U}$中的向量映射到$\mathbb{W}$中。

我们可以证明$h$是一个同构。

首先，$h$是线性的，因为它是两个线性变换的复合。其次，$h$是双射的，因为它是两个双射的复合。具体地，如果$h(v_1) = h(v_2)$，那么$g^{-1}(f(v_1)) = g^{-1}(f(v_2))$，从而$f(v_1) = f(v_2)$，从而$v_1 = v_2$。这说明$h$是单射的。

另一方面，因为$g$是满射的，因此对于任意的$w \in \mathbb{W}$，存在一个$u \in \mathbb{U}$，使得$g^{-1}(u)=w$。因为$f$是满射的，存在一个$v \in \mathbb{V}$，使得$f(v) = u$，。因此，$h(v) = g^{-1}(f(v)) = g^{-1}(u) = w$。这说明$h$是满射的。

综上所述，$h$是一个从$\mathbb{V}$到$\mathbb{W}$的同构。

⭕ 不需要证明同态？

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另外一个证明：

如果向量空间 $\mathbb{V}$ 和 $\mathbb{U}$ 同构，以及 $\mathbb{W}$ 和 $\mathbb{U}$ 同构，那么我们可以确实建立 $\mathbb{V}$ 和 $\mathbb{W}$ 之间的一个同构映射。这个映射可以通过复合函数构建。

假设 $φ: \mathbb{V} → \mathbb{U}$ 和 $ψ: \mathbb{W} → \mathbb{U}$ 是 $\mathbb{V}$ 到 $\mathbb{U}$ 和 $\mathbb{W}$ 到 $\mathbb{U}$ 的同构映射。那么我们可以定义 $θ: \mathbb{V} → \mathbb{W}$ 作为 $ψ⁻¹ ∘ φ$（这里 $∘$ 表示函数复合，$ψ⁻¹$ 是 $ψ$的逆映射）。这就是从 $\mathbb{V}$ 到 $\mathbb{W}$ 的一个同构映射。

证明 $θ$ 是同构映射的关键在于满足两个条件：

线性性质：对于任何向量 $\mathbf{v1}$, $\mathbf{v2}$ 属于 $\mathbb{V}$ ，和任何标量 $c$，我们有：

$θ(\mathbf{v1} + \mathbf{v2}) = θ(\mathbf{v1}) + θ(\mathbf{v2})$

$θ(c \mathbf{v1}) = c θ(\mathbf{v1})$

可逆性：表示存在 $θ$ 的逆映射 $θ⁻¹ : \mathbb{W} → \mathbb{V}$ ，使得 $θ⁻¹(θ(\mathbf{v})) = \mathbf{v}$，对所有 $\mathbf{v} ∈ \mathbb{V}$ 成立，以及 $θ(θ⁻¹(w)) = w$，对所有 $w ∈ \mathbb{W}$ 成立。

这两个性质的证明可以由 $φ$ 和 $ψ$ 的同构性质和函数复合的性质推导得出。