2.1 实数集的基本性质

由于$n$维欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 是由实数集的$n$重笛卡尔积导出的，它从实数集$\mathbb{R}$继承了许多基本性质。因此，我们从回顾与实数相关的一些基础概念开始我们的讨论。

2.1.1 基础

尽管现代数学的公理基础始于公元前300年左右的欧几里得《几何原本》，但直到另外2000年后，公理化方法才成为数学各个分支的基础。在这项研究中，我们不涵盖集合理论的策梅洛-弗朗克尔（Zermelo-Fraenkel）公理，也不包括戴德金（Dedekind）在构建实数集时使用的全序环公理。然而，我们将使用直接从这些公理导出的基本定理。

定义2.1 假设 $X \subset \mathbb{R}$

1. 如果$\exists y \in \mathbb{R} \ni x \leq y \; \forall x \in X$，那么称 $X$ 为有上界，而 $y$ 被称为 $X$ 的一个上界。
2. 如果$\exists z \in \mathbb{R} \ni z \leq x \; \forall x \in X$，那么称 $X$ 为有下界，而 $z$ 被称为 $X$ 的一个下界。
3. 如果 $X$ 既有上界又有下界，则称 $X$ 为有界集。
4. 假设 $y$ 是 $X$ 的一个上界。如果对于任意$x < y$ 都有 $x$ 不是一个上界，则 $y$ 被称为 $X$ 的最小上界或上确界。
5. 假设 $z$ 是 $X$ 的一个下界。如果对于任意的$x$， $z < x$都有 $x$ 不是一个下界，则 $z$ 被称为 X 的最大下界或下确界。

我们将集合 $X$ 的最小上界缩写为 $lub(X)$ 或 $sup(X)$，将最大下界缩写为 $glb(X)$ 或 $inf(X)$。

例子 2.1

1. 集合 $Y = \{y : y = e^x; x \in \mathbb{R}\}$ 的最大下界是 0，但 $Y$ 无上界。
2. 集合 $X = \{1/n : n \in \mathbb{N}\}$ 是一个有上下界的集合，其中最大下界为 0，最小上界为 1。

假设 $\mathbb{F}$ 是一个全序域（totally ordered field），并且 $P = \{A \in 2^{\mathbb{F}} : A \neq \varnothing\}$ 。如果 $\mathbb{F}$ 还满足性质

$D1$: 如果 $A \in P$，则 $lub(A)$ 存在，那么称该全序域是戴德金完备的。

Harry

"戴德金完备"指的是一个全序域在某种条件下的完备性质。

具体而言，一个全序域被称为"戴德金完备"，如果它满足以下性质：域中的非空上有界集合，存在最小上界（上确界）。

这就意味着在这个全序域中，任何非空并且有上界的集合都有一个最小的上确界。这个性质在实数域上成立，但并不是所有的全序域都满足这个性质。因此，戴德金完备性质对于一些数学分析和基础数学领域中的理论推导是很重要的。

请注意，有理数集合 $(\mathbb{Q}, +, ×)$ 在自然序 $\leq$ 下是一个全序域。然而，这个序并不是戴德金完备的。例如，集合 $A = \{x \in \mathbb{Q} : x \times x \leq 2\}$ 由上界如 2 和 $\frac{71}{50} \times \frac{71}{50}$ 等界定，但不存在 $\mathbb{Q}$ 中的元素 $x$ 使得 $x \times x = lub(A)$。另外，我们也知道（见第1.3节），实数域 $(\mathbb{R}, +, ×)$ 是一个全序域。因此，关于实数域 $\mathbb{R}$ 中的自然序 $\leq$ 是否是戴德金完备的问题是肯定的。这个关于实数的非常基本的性质，被称为实数的完备性定理，归功于理查德·戴德金（Richard Dedekind）[71]，并且在 [239] 中给出了这一定理的简单证明。